Линейная комбинация

Лине́йная комбина́ция — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов (например, линейной комбинацией $x$$x$ и $y$$y$ будет выражение вида $ax+by$$ax+by$, где $a$$a$ и $b$$b$ — коэффициенты).

Понятие линейной комбинации является одним из ключевых в линейной алгебре и смежных областях математики. В классическом случае линейная комбинация рассматривается в контексте векторных пространств, но существуют обобщения на произвольные модули над кольцами и бимодули^[⇨]

ОпределениеПравить

Пусть $K$$K$  — поле (например, поле $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  вещественных чисел) и $V$$V$  — векторное пространство над $K$$K$  (элементы $V$$V$  — векторы, а элементы $K$$K$  — скаляры). Если $v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n$$v_{1},\dots ,v_{n}$  — векторы, а $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_{1},\dots ,a_{n}$  — скаляры, то линейная комбинация этих векторов со скалярами в качестве коэффициентов — это:

$a_1{v}_1+a_2{v}_2+a_3{v}_3+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{v}_n$$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}$ .

Имеется некоторая двусмысленность в применении понятия «линейная комбинация», поскольку оно может относиться как к самому выражению, так и его результату. В большинстве случаев подразумевается значение, так как множество всех линейных комбинаций $v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n$$v_{1},\dots ,v_{n}$  всегда образует подпространство. Однако можно сказать также «две различные линейные комбинации могут дать то же самое значение» и в этом случае под линейной комбинацией следует понимать выражение. Слабо уловимая разница между этими понятиями является сущностью понятия линейной зависимости — семейство векторов $F$$F$  линейно независимо в точности тогда, когда любая линейная комбинация векторов из $F$$F$  (как значение) единственна (как выражение). В любом случае, даже если линейная комбинация рассматривается как выражение, всё это относится к коэффициентам для каждого $v_i$$v_{i}$ ; тривиальные изменения (например, перестановки элементов или добавление элементов с нулевыми коэффициентами) не дают другой линейной комбинации.

В зависимости от ситуации, $K$$K$  и $V$$V$  могут быть заданы явно, или они могут быть очевидны из контекста. В последнем случае часто говорят о линейной комбинации векторов $v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n$$v_{1},\dots ,v_{n}$  с произвольными коэффициентами (за исключением того, что они должны принадлежать $K$$K$ ). Или, если $S$$S$  — подмножество $V$$V$ , то можно говорить о линейной комбинации векторов из $S$$S$ , где и коэффициенты, и векторы не специфицированы — за исключением того требования, что векторы должны принадлежать множеству $S$$S$ , а коэффициенты — полю $K$$K$ ). Наконец, можно говорить просто о линейной комбинации, где ничто не специфицировано (за исключением того, что вектора должны принадлежать множеству $V$$V$ , а коэффициенты — полю $K$$K$ ). В этом случае, скорее всего, речь идёт о выражениях, поскольку любой вектор в $V$$V$  определённо является значением некоторой линейной комбинации.

По определению, линейная комбинация включает только конечное число векторов (за исключением специальных обобщений^[⇨]). Однако множество $S$$S$ , из которого берутся векторы, может быть бесконечным. Каждая же индивидуальная линейная комбинация включает лишь конечное число векторов из этого множества. Также нет причин, чтобы $n$$n$  не мог быть нулём: считается, что в этом случае результат линейной комбинации будет нулевым вектором в $V$$V$ .

Примеры и контрпримерыПравить

ВекторыПравить

Пусть поле $K$$K$  — множество $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  вещественных чисел, а пространство векторов $V$$V$  — евклидово пространство ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$ . Любой вектор в ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$  является линейной комбинацией единичных векторов $e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$$e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0),e_{3}=(0,0,1)$ . Например, вектор $(a_1,a_2,a_3)$$(a_{1},a_{2},a_{3})$  можно записать:

$(a_1,a_2,a_3)=(a_1,0,0)+(0,a_2,0)+(0,0,a_3)$$(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})$ 

$=a_1(1,0,0)+a_2(0,1,0)+a_3(0,0,1)$$=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)$ 

$=a_1{e}_1+a_2{e}_2+a_3{e}_3.$$=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}.$ 

ФункцииПравить

Пусть $K$$K$  — множество $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  всех комплексных чисел, и пусть $V$$V$  — множество всех непрерывных функций из вещественной прямой $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  в комплексную плоскость $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ . Взяв векторы (функции) $f$$f$  и $g$$g$ , определённые формулами (здесь $e$$e$  — основание натурального логарифма и $i$$i$  — мнимая единица):

$f(t)=e^{it}$$f(t)=e^{{it}}$ , $g(t)=e^{-<!--\; -\; -->it}$$g(t)=e^{{-it}}$ ,

можно получить среди прочих следующие их линейные комбинации:

• $\cos <!--\; \; -->t=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{e}^{it}+\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{e}^{-<!--\; -\; -->it}$$\cos t={\begin{matrix}{\frac 12}\end{matrix}}e^{{it}}+{\begin{matrix}{\frac 12}\end{matrix}}e^{{-it}}$ ,
• $2\sin <!--\; \; -->t=(-<!--\; -\; -->i)e^{it}+(i)e^{-<!--\; -\; -->it}$$2\sin t=(-i)e^{{it}}+(i)e^{{-it}}$ .

С другой стороны, постоянная функция $h(x)=3$$h(x)=3$  не является линейной комбинацией $f$$f$  и $g$$g$ .

МногочленыПравить

Пусть $K$$K$  — это $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  или любое поле, и пусть $V$$V$  — множество $P$$P$  всех многочленов с коэффициентами из $K$$K$ . Пусть заданы векторы (многочлены) $p_1=1,p_2=x+1,p_3=x^2+x+1$$p_{1}=1,p_{2}=x+1,p_{3}=x^{2}+x+1$ .

Является ли многочлен x² − 1 линейной комбинацией p₁, p₂ и p₃? Чтобы это определить, является ли многочлен $x^2-<!--\; -\; -->1$$x^{2}-1$  линейной комбинацией $p_1,p_2,p_3$$p_{1},p_{2},p_{3}$  можно записать комбинацию с произвольными коэффициентами $a_1,a_2,a_3$$a_{1},a_{2},a_{3}$  и приравнять её к данному многочлену:

$a_1(1)+a_2(x+1)+a_3(x^2+x+1)=x^2-<!--\; -\; -->1$$a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1$ .

Раскрыв скобки:

$(a_1)+(a_{2}x+a_2)+(a_3{x}^2+a_{3}x+a_3)=x^2-<!--\; -\; -->1$$(a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1$ ,

и приведя однородные многочлены:

$a_3{x}^2+(a_2+a_3)x+(a_1+a_2+a_3)=1x^2+0x+(-<!--\; -\; -->1)$$a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1)$ ,

получается:

$a_3=1,a_2+a_3=0,a_1+a_2+a_3=-<!--\; -\; -->1$$a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1$ .

Решением этой системы линейных уравнений является $a_1=-<!--\; -\; -->1,a_2=-<!--\; -\; -->1,a_3=1$$a_{1}=-1,a_{2}=-1,a_{3}=1$ . Таким образом, данный многочлен записывается линейной комбинацией $p_1,p_2,p_3$$p_{1},p_{2},p_{3}$ :

$x^2-<!--\; -\; -->1=-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->(x+1)+(x^2+x+1)=-<!--\; -\; -->p_1-<!--\; -\; -->p_2+p_3$$x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}$ .

Другой пример — $x^3-<!--\; -\; -->1$$x^{3}-1$ , он не может быть представлен линейной комбинацией $p_1,p_2,p_3$$p_{1},p_{2},p_{3}$ :

$0x^3+a_3{x}^2+(a_2+a_3)x+(a_1+a_2+a_3)$$0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})$ 

$=1x^3+0x^2+0x+(-<!--\; -\; -->1),$$=1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1),$ 

приравняв теперь коэффициенты для $x^3$$x^{3}$ , получаем противоречие $0=1$$0=1$ .

Линейная оболочкаПравить

Основная статья: Линейная оболочка

Пусть $S=\{v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n$$S=\{v_{1},\dots ,v_{n}$ } — векторы в некотором векторном пространстве $V$$V$  над некоторым полем $K$$K$ . Множество всех линейных комбинаций этих векторов называется линейной оболочкой (или просто оболочкой) векторов из $S$$S$ . Обозначения — $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(S)$${\mathrm {img}}(S)$  или $\mathrm{S}\mathrm{p}(S)$${\mathrm {Sp}}(S)$ :

$\mathrm{S}\mathrm{p}(v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n):=\{a_1{v}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{v}_n\mid <!--\; \mid \; -->a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n\subseteq <!--\; \subseteq \; -->K\}$${\mathrm {Sp}}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{1},\ldots ,a_{n}\subseteq K\}$ .

Линейная независимостьПравить

Основная статья: Линейная независимость

Для некоторых наборов $v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n$$v_{1},\dots ,v_{n}$  векторы могут быть представлены в виде линейной комбинации неоднозначно:

$v=\sum <!--\; \sum \; -->a_i{v}_i=\sum <!--\; \sum \; -->b_i{v}_i$$v=\sum a_{i}v_{i}=\sum b_{i}v_{i}$ , где $(a_i)\ne <!--\; \ne \; -->(b_i)$$(a_{i})\neq (b_{i})$ .

Если вычесть третий член равенства из второго и обозначить коэффициенты $c_i=a_i-<!--\; -\; -->b_i$$c_{i}=a_{i}-b_{i}$ , получим нетривиальную комбинацию, дающую в результате нулевой вектор:

$0=\sum <!--\; \sum \; -->c_i{v}_i.$$0=\sum c_{i}v_{i}.$ 

Если такое возможно, набор $v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n$$v_{1},\dots ,v_{n}$  называют линейно зависимым. В противном случае — линейно независимым. Аналогичным образом говорят о зависимости или независимости произвольного множества векторов $S$$S$ .

Если $S$$S$  — линейно независимо и оболочка $S$$S$  совпадает с $V$$V$ , говорят, что $S$$S$  является базисом в $V$$V$ .

Аффинная, коническая и выпуклая комбинацииПравить

Если наложить на коэффициенты, используемые в линейной комбинации, некоторые условия, получим понятия концепции барицентрической комбинации (или аффинной комбинации), конической комбинации и выпуклой комбинации, а также соответствующие понятия множеств таких линейных комбинаций.

Тип комбинации	Ограничения на коэффициенты	Название множества	Модель пространства
Линейная комбинация	без ограничений	Векторное подпространство	${\mathbf{R}}^n$${\mathbf {R}}^{n}$
Барицентрическая комбинация	$\sum <!--\; \sum \; -->a_i=1$$\sum a_{i}=1$	Аффинное подпространство	Аффинная гиперплоскость
Коническая комбинация	$a_i\ge <!--\; \ge \; -->0$$a_{i}\geq 0$	Выпуклый конус	Квадрант[en] / Октант
Выпуклая комбинация	$a_i\ge <!--\; \ge \; -->0$$a_{i}\geq 0$  и $\sum <!--\; \sum \; -->a_i=1$$\sum a_{i}=1$	Выпуклое множество	Симплекс

Поскольку здесь имеют место ограничения на вид комбинаций, то получаем в результате более широкие классы объектов. Таким образом, понятия аффинных подмножеств, выпуклых конусов и выпуклых множеств выступают как обобщения понятия векторного подпространства: векторное подпространство одновременно является также и аффинным подпространством, и выпуклым конусом, и выпуклым множеством, но выпуклое множество совсем не обязательно будет векторным или аффинным подпространством или выпуклым конусом.

Эти понятия возникают, когда берут определённые линейные комбинации объектов, но не любые. Например, распределения вероятностей замкнуты относительно операции образования выпуклых комбинаций (и образуют выпуклое множество), но не конических, барицентрических или линейных. Меры множеств замкнуты относительно операции образования конических комбинаций, но не барицентрических или линейных (последние комбинации определяют заряды).

Линейную и барицентрическую комбинации можно определить для любого поля (или кольца), а коническая и выпуклая комбинации требуют понятия «положительный», так что их можно определить только над упорядоченным полем (или упорядоченным кольцом).

Если разрешено только умножение на скаляр, но не сложение, получим (не обязательно выпуклый) конус^[en]. Часто ограничиваются умножением только на положительные скаляры.

Теория операдПравить

На более общем языке теории операд можно рассматривать векторные пространства как алгебры над операдой ${\mathbb{R}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\mathbb{R} ^{\infty }$  (бесконечная прямая сумма, в которой только конечное число членов ненулевые), которая параметризует линейные комбинации. (Например, вектор $(2,3,-<!--\; -\; -->5,0,\dots <!--\; \dots \; -->)$$(2,3,-5,0,\dots )$  в таком подходе соответствует линейной комбинации $2v_1+3v_2-<!--\; -\; -->5v_3+0v_4+\cdots <!--\; \cdots \; -->$$2v_{1}+3v_{2}-5v_{3}+0v_{4}+\cdots$ .) Подобным же образом можно рассматривать барицентрические, конические и выпуклые комбинации как соответствующие подоперадам, у которых члены в сумме дают 1, члены которых неотрицательны, или и то, и другое; такие комбинации будут бесконечными аффинными гиперплоскостями, бесконечными гипероктантами и бесконечными симплексами.

С этой точки зрения линейная комбинация может рассматриваться как наиболее общая операция в векторном пространстве — если векторное пространство является алгеброй над операдой линейной комбинации, это в точности означает, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейными комбинациями.

Основные операции сложения и умножения на скаляр вместе с существованием аддитивного равенства и аддитивной инверсии нельзя скомбинировать более сложным образом, чем образованием линейной комбинации. Эти основные операции являются генерирующим множеством^[en] для операды всех линейных комбинаций.

ОбобщенияПравить

Если $V$$V$  — топологическое векторное пространство, то можно, если существенным образом использовать топологию $V$$V$ , придать смысл некоторым бесконечным линейным комбинациям элементов данного пространства. Например, можно было бы говорить о $a_{1}v+a_{2}v+a_{3}v+\dots <!--\; \dots \; -->$$a_{1}v+a_{2}v+a_{3}v+\dots$  (до бесконечности). Такие бесконечные линейные комбинации не всегда имеют смысл: обычно смысл удаётся придать лишь сходящимся комбинациям. Увеличение запаса допустимых линейных комбинаций может привести к изменению объёма понятий оболочки, линейной независимости и базиса.

Если $K$$K$  — коммутативное кольцо, а не поле, то всё, что говорилось о линейных комбинациях выше, обобщается на этот случай без изменений. Единственная разница — такие пространства именуются модулями (а не векторными пространствами), и не все результаты, справедливые применительно к векторным пространствам, остаются справедливыми и для модулей.

Если $K$$K$  — некоммутативное кольцо, то понятие линейной комбинации с коэффициентами из $K$$K$  также можно ввести — с одной особенностью: поскольку модули над некоммутативным кольцом могут быть левые и правые, то и линейная комбинация может тоже быть левой и правой.

Более сложной является ситуация, когда $V$$V$  — бимодуль над двумя кольцами $K_L$$K_{L}$  и $K_R$$K_{R}$ . В этом случае наиболее общий вид линейной комбинации таков:

$a_1{v}_1{b}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{v}_n{b}_n$$a_{1}v_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}b_{n}$ ,

где $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_{1},\dots ,a_{n}$  принадлежат $K_L$$K_{L}$ , $b_1,\dots <!--\; \dots \; -->,b_n$$b_{1},\dots ,b_{n}$  принадлежат $K_R$$K_{R}$  и $v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n$$v_{1},\dots ,v_{n}$  принадлежат $V$$V$ .

СсылкиПравить

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and imgs of vectors, khanacademy.org.