Композиция функций

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций $F$$F$ и $G$$G$ обычно обозначается $G\circ <!--\; \circ \; -->F$$G\circ F$, что обозначает применение функции $G$$G$ к результату функции $F$$F$, то есть $(G\circ <!--\; \circ \; -->F)(x)=G(F(x))$$(G\circ F)(x)=G(F(x))$.

ОпределениеПравить

Пусть даны две функции $F:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$F\colon X\to Y$  и $G:<!--\; :\; -->F[X]\to <!--\; \to \; -->Z,$${\textstyle G\colon F[X]\to Z,}$  где $F[X]\subseteq <!--\; \subseteq \; -->Y$$F[X]\subseteq Y$  — образ множества $X.$$X.$  Тогда их композицией называется функция $G\circ <!--\; \circ \; -->F:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Z$$G\circ F\colon X\to Z$ , определённая равенством:

$(G\circ <!--\; \circ \; -->F)(x)=G(F(x)),x\in <!--\; \in \; -->X.$$(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.$ 

Связанные определенияПравить

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию $G$$G$  вида

  $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$$G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$ 

потому что она представляет собой функцию $F$$F$ , на вход которой подаются результаты функций $u$$u$  и $v$$v$ .

Свойства композицииПравить

• Композиция ассоциативна:

  $(H\circ <!--\; \circ \; -->G)\circ <!--\; \circ \; -->F=H\circ <!--\; \circ \; -->(G\circ <!--\; \circ \; -->F).$$(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$ 

• Если $F={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$$F={\mathrm {id}}_{X}$  — тождественное отображение на $X$$X$ , то есть

  $F(x)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X(x)=x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X,$$F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,$ 

то $G\circ <!--\; \circ \; -->F=G.$$G\circ F=G.$ 

• Если $G={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$$G={\mathrm {id}}_{Y}$  — тождественное отображение на $Y$$Y$ , то есть

  $G(y)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y(y)=y,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\in <!--\; \in \; -->Y,$$G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,$ 

то $G\circ <!--\; \circ \; -->F=F.$$G\circ F=F.$ 

• Композиция отображений $F:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->X$$F\colon X\to X$ , $G:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->X$$G\colon X\to X$ , вообще говоря, не коммутативна, то есть $F\circ <!--\; \circ \; -->G\ne G\circ <!--\; \circ \; -->F.$$F\circ G\not =G\circ F.$  Например, даны функции $F:<!--\; :\; -->x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->x^2,G:<!--\; :\; -->x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->2x$$F\colon x\mapsto x^{2},~G\colon x\mapsto 2x$  — тогда $G\circ <!--\; \circ \; -->F:<!--\; :\; -->x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->2x^2,$$G\circ F\colon x\mapsto 2x^{2},$  однако $F\circ <!--\; \circ \; -->G:<!--\; :\; -->x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->4x^2.$$F\circ G\colon x\mapsto 4x^{2}.$ 

Дополнительные свойстваПравить

• Пусть функция $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  имеет в точке $a$$a$  предел $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x)=b$$\lim_{x \to a}f(x) = b$ , а функция $g:<!--\; :\; -->f[X]\subseteq <!--\; \subseteq \; -->Y\to <!--\; \to \; -->Z$$g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$  имеет в точке $b$$b$  предел $\underset{y\to <!--\; \to \; -->b}{lim}g(y)$$\lim _{y\to b}g(y)$ . Тогда, если существует проколотая окрестность точки $a$$a$ , пересечение которой с множеством $X$$X$  отображается функцией $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  в проколотую окрестность точки $b$$b$ , то в точке $a$$a$  существует предел композиции функций $g\circ <!--\; \circ \; -->f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Z$$g\circ f\colon X\to Z$  и выполнено равенство: $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}g(f(x))=\underset{y\to <!--\; \to \; -->b}{lim}g(y).$$\lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y).$ 
• Если функция $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  имеет в точке $a$$a$  предел $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x)=b$$\lim_{x \to a}f(x) = b$ , а функция $g:<!--\; :\; -->f(X)\subseteq <!--\; \subseteq \; -->Y\to <!--\; \to \; -->Z$$g\colon f(X)\subseteq Y\to Z$  непрерывна в точке $b$$b$ , то в точке $a$$a$  существует предел композиции функций $g\circ <!--\; \circ \; -->f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Z$$g\circ f\colon X\to Z$  и выполнено равенство: $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}g(f(x))=g(\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x))=g(b).$$\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$ 
• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть $(X,{\mathcal{T}}_X),(Y,{\mathcal{T}}_Y),(Z,{\mathcal{T}}_Z)$$(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$  — топологические пространства. Пусть $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  и $g:<!--\; :\; -->f[X]\subseteq <!--\; \subseteq \; -->Y\to <!--\; \to \; -->Z$$g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$  — две функции, $y_0=f(x_0)$$y_{0}=f(x_{0})$ , $f\in <!--\; \in \; -->C(x_0)$$f\in C(x_{0})$  и $g\in <!--\; \in \; -->C(y_0),$$g\in C(y_{0}),$  где $C$$C$  — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда $g\circ <!--\; \circ \; -->f\in <!--\; \in \; -->C(x_0)$$g\circ f\in C(x_{0})$ .

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть $f,g:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $y_0=f(x_0)$$y_{0}=f(x_{0})$ , $f\in <!--\; \in \; -->\mathcal{D}(x_0)$$f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$  и $g\in <!--\; \in \; -->\mathcal{D}(y_0)$$g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$ . Тогда $g\circ <!--\; \circ \; -->f\in <!--\; \in \; -->\mathcal{D}(x_0)$$g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ , и

$(g\circ <!--\; \circ \; -->f{)}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(y_0)\cdot <!--\; \cdot \; -->f^{\prime }(x_0)$$(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$ .

ЛитератураПравить

• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х.