Степенная функция

Степенна́я фу́нкция — функция $y=x^a$$y=x^{a}$, где $a$$a$ (показатель степени) — некоторое вещественное число. К степенным часто относят и функцию вида $y=k{x}^a$$y=kx^{a}$, где $k$$k$ — некоторый (ненулевой) коэффициент. Существует также комплексное обобщение степенной функции^[⇨].

Степенная функция является частным случаем многочлена. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Вещественная функцияПравить

Область определенияПравить

Для целых положительных показателей $a$$a$  степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой, тогда как для отрицательных $a$$a$ , функция не определена в нуле (нуль является её особой точкой).

Для рациональных $a=\frac{p}{q}(q>0)$$a={\frac {p}{q}}\ (q>0)$  область определения зависит от чётности $q$$q$  и от знака $p.$$p.$  так как $x^a=\sqrt[q]{x^p}.$$x^{a}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}.$ :

• Если $q$$q$  нечётно и $p>0$$p>0$ , то $x^{p/q}$$x^{p/q}$  определён на всей числовой прямой.
• Если $q$$q$  нечётно и $p<0$ , то $x^{p/q}$$x^{p/q}$  определён на всей числовой прямой, кроме нуля.
• Если $q$$q$  чётно и $p>0$$p>0$ , то $x^{p/q}$$x^{p/q}$  определён при неотрицательных $x.$$x.$ 
• Если $q$$q$  чётно и $p<0$ , то $x^{p/q}$$x^{p/q}$  определён при положительных $x.$$x.$ 

Для вещественного показателя $a$$a$  степенная функция $x^a$$x^{a}$ , вообще говоря, определена только при $x>0.$$x>0.$  Если $a>0,$$a>0,$  то функция определена и в нуле.

Целочисленный показатель степениПравить

Графики степенной функции $y=x^n$$y=x^{n}$  при целочисленном показателе $n$$n$ :

•  

  Параболы порядка n:     $n=0$$n=0$       $n=1$$n=1$       $n=2$$n=2$       $n=3$$n=3$       $n=4$$n=4$       $n=5$$n=5$ 
•  

  Гиперболы порядка n:     $n=-<!--\; -\; -->1$$n=-1$       $n=-<!--\; -\; -->2$$n=-2$       $n=-<!--\; -\; -->3$$n=-3$ 

При нечётном $n$$n$  графики центрально-симметричны относительно начала координат, в котором имеет точку перегиба. При чётном $n$$n$  степенная функция чётна: $(-<!--\; -\; -->x{)}^n=x^n,$$(-x)^{n}=x^{n},$  её график симметричен относительно оси ординат.

Графики степенной функции при натуральном показателе $n>1$$n>1$  называются параболами порядка $n$$n$ . При чётном $n$$n$  функция всюду неотрицательна (см. графики). При $n=1$$n=1$  получается функция $y=kx$$y=kx$ , называемая линейной функцией или прямой пропорциональной зависимостью.

Графики функций вида $y=x^{-<!--\; -\; -->n}=\frac{1}{x^n}$$y=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$ , где $n$$n$  — натуральное число, называются гиперболами порядка $n$$n$ . При нечётном $n$$n$  оси координат являются асимптотами гипербол. При чётном $n$$n$  асимптотами являются ось абсцисс и положительное направление оси ординат (см. графики). При показателе $-<!--\; -\; -->1$$-1$  получается функция $y=\frac{k}{x}$$y={\frac {k}{x}}$ , называемая обратной пропорциональной зависимостью.

При $a=0$$a=0$  функция вырождается в константу: $y=1.$$y=1.$ 

Рациональный показатель степениПравить

•  

  Графики степенных функций с рациональным показателем

•  

  Полукубические параболы $y=a{x}^{3/2}$$y=ax^{3/2}$ 

Возведение в рациональную степень $p/q$$p/q$  определяется формулой:

$x^{p/q}=\sqrt[q]{x^p}.$$x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}.$ 

Если $p=1$$p=1$ , то функция представляет собой арифметический корень степени $q$$q$ :

$y=x^{1/q}=\sqrt[q]{x}.$$y=x^{1/q}={\sqrt[{q}]{x}}.$ 

Пример: из третьего закона Кеплера непосредственно вытекает, что период $T$$T$  обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью $A$$A$  её орбиты соотношением: $T=k{A}^{3/2}$$T=kA^{{3/2}}$  (полукубическая парабола).

СвойстваПравить

См. также: Возведение в степень

МонотонностьПравить

В интервале $(0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(0,\infty )$  функция монотонно возрастает при $a>0$$a>0$  и монотонно убывает при $a<0.$  Значения функции в этом интервале положительны.

Аналитические свойстваПравить

Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена.

Производная функции: ${\left(x^a\right)}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=a{x}^{a-<!--\; -\; -->1}$$\left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1}$ .

Ноль, вообще говоря, является особой точкой. Так, если $a<n$ , то $n$$n$ -я производная в нуле не определена. Например, функция $y=\sqrt{x}=x^{1/2}$$y={\sqrt {x}}=x^{1/2}$  определена в нуле и в его правой окрестности, но её производная $y=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$y={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$  в нуле не определена.

Неопределённый интеграл:

• Если $a\ne <!--\; \ne \; -->-<!--\; -\; -->1$$a\neq -1$ , то $\int <!--\; \int \; -->x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$$\int x^{a}dx={\frac {x^{{a+1}}}{a+1}}+C$ 
• При $a=-<!--\; -\; -->1$$a=-1$  получаем: $\int <!--\; \int \; -->\frac{1}{x}dx=\ln <!--\; \; -->|x|+C$$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C$ 

Таблица значений малых степенейПравить

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049
4	16	64	256	1024	4096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1296	7776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
8	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000

Комплексная функцияПравить

Степенная функция комплексного переменного $z$$z$  в общем виде определяется формулой:

$y=z^c=e^{c\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{Ln}<!--\; \; -->(z)}$$y=z^{c}=e^{{c\cdot \operatorname {Ln}(z)}}$ 

Здесь показатель степени $c$$c$  — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение $i^i$$i^{i}$  равно $e^{-<!--\; -\; -->(4k+1)\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}},$$e^{-(4k+1){\frac {\pi }{2}}},$  где $k$$k$  — произвольное целое, а его главное значение есть $e^{i\ln <!--\; \; -->(i)}=e^{-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}.$$e^{i\ln(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}.$ 

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

1. При натуральном показателе степени функция $y=z^n$$y=z^{n}$  однозначна и n-листна.
2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь $\frac{p}{q}$${\frac {p}{q}}$ , то у функции будет $q$$q$  различных значений.

См. такжеПравить

• Логарифм
• Целая рациональная функция
• Показательная функция
• Степенной закон в статистике

ЛитератураПравить

• Битюцков В. И. Степенная функция // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 208—209. — 1248 с.
• Степенная функция // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 564—565. — 847 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.

СсылкиПравить

• Степенная функция // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.