Однородная система координат

Однородные координаты ― система координат, используемая в проективной геометрии, подобно тому, как декартовы координаты используются в евклидовой геометрии.

Однородные координаты обладают тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же ненулевое число. Из-за этого количество координат, необходимое для представления точек, всегда на одну больше, чем размерность пространства, в котором эти координаты используются. Например, для представления точки на прямой в одномерном пространстве необходимы 2 координаты и 3 координаты для представления точки на плоскости в двумерном пространстве. В однородных координатах возможно представить даже точки, находящиеся в бесконечности.

Введены Плюккером в качестве аналитического подхода к принципу двойственности Жергонна — Понселе.

Проективная геометрияПравить

Проективная плоскость обычно определяется как множество прямых в ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb R^3$ , проходящих через начало координат. Любая такая прямая однозначно определяется точкой, не совпадающей с началом координат $0$$0$ . Пусть данная прямая проходит через точку с координатами $(a,b,c)$$(a,b,c)$ , тогда однородные координаты соответствующей точки на проективной плоскости — это тройка чисел $(x_1:x_2:x_3)$$(x_1:x_2:x_3)$ , определённая с точностью до пропорциональности и такая, что все три координаты одновременно не могут быть равны нулю. Например, $(0:1:1)=(0:2:2).$$(0:1:1)=(0:2:2).$ 

От однородных координат к аффинным можно перейти следующим образом: в трёхмерном пространстве можно провести плоскость, не проходящую через начало координат; тогда проходящая через начало координат прямая либо параллельна этой плоскости (в этом случае точка называется «бесконечно удалённой»), либо пересекает её в единственной точке, тогда ей можно сопоставить координаты этой точки на плоскости. Например, в пространстве с координатами $(x_1,x_2,x_3)$$(x_1,x_2,x_3)$  проведём плоскость $x_3=1$$x_3=1$ . Тогда точке с однородными координатами $(a:b:c)$$(a:b:c)$ , если $c\ne <!--\; \ne \; -->0$$c\neq 0$ , соответствует точка на плоскости с координатами $(a/c,b/c).$$(a/c,b/c).$  Обратно, точка с аффинными координатами $(a,b)$$(a,b)$  в однородных координатах запишется как $(a:b:1).$$(a:b:1).$ 

Прямые на проективной плоскости — это плоскости в трёхмерном пространстве, проходящие через начало координат. Такую плоскость можно задать уравнением $a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3=0$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ . Нетрудно заметить, что при умножении $a_1,a_2,a_3$$a_{1},a_{2},a_{3}$  на одно и то же число плоскость, задаваемая уравнением, не изменится. Это значит, что каждой плоскости соответствуют однородные координаты $(a_1:a_2:a_3)$$(a_1:a_2:a_3)$ . Точке, записанной в однородных координатах, можно сопоставить прямую, которая в однородных координатах записывается так же. Таким образом, прямые на проективной плоскости образуют «вторую проективную плоскость», в этом и заключается принцип проективной двойственности.

Вычислительная геометрияПравить

В вычислительной геометрии однородные координаты применяются в вычислениях операций на евклидовой плоскости. Плоскость Евклида временно дополняется до проективной, к декартовым координатам точек добавляется однородная координата 1, затем производятся операции, затем в самом конце производится деление на однородную координату, чтобы получить декартовы координаты, а бесконечно удалённые точки обрабатываются особо. Такой подход даёт возможность быстро и безошибочно закодировать операции с объектами на плоскости. Прямая, проходящая через две точки, и точка на пересечении двух прямых, — обе операции кодируются, используя векторное произведение. Также нередко расширение евклидовой плоскости до проективной позволяет избежать рассмотрения частных случаев в промежуточных построениях, например, пересекающиеся или параллельные прямые, и провести анализ только в самом конце.

Однородные целочисленные координаты обобщают рациональные числа. Третья однородная координата служит общим знаменателем первым двум координатам, таким образом все вычисления могут производятся без погрешностей (в длинной арифметике).

ПримерыПравить

• Барицентрические координаты.