Функциональное уравнение

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

ПримерыПравить

Функциональному уравнению:

$f(s)=2^s{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{s-<!--\; -\; -->1}\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s}{2}\right)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1-<!--\; -\; -->s)f(1-<!--\; -\; -->s)$$f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$ ,

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z)$$\Gamma(z)$  — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$$\zeta$ .

Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

$f(x)=\frac{f(x+1)}{x}$$f(x)={f(x+1) \over x}$ 

$f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{2^{2y-<!--\; -\; -->1}}f(2y)$$f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}}{2^{{2y-1}}}}f(2y)$ 

$f(z)f(1-<!--\; -\; -->z)=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}z)}$$f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}$  (формула дополнения Эйлера)

Функциональное уравнение:

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d{)}^{k}f(z)$$f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$ ,

где $a,b,c,d$$a,b,c,d$  являются целыми числами, удовлетворяющими равенству $ad-<!--\; -\; -->bc=1$$ad-bc=1$ , то есть:

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1$ ,

определяет $f$$f$  как модулярную форму порядка $k$$k$ .

Функциональные уравнения Коши:

• $f(x+y)=f(x)+f(y)$$f(x+y)=f(x)+f(y)$  — удовлетворяют все линейные однородные функции $f(x)=ax$$f(x)=ax$ ,
• $f(x+y)=f(x)f(y)$$f(x+y)=f(x)f(y)$  — удовлетворяют все показательные функции $f(x)=\exp <!--\; \; -->\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x\right)=a^x$$f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x}$ ,
• $f(xy)=f(x)+f(y)$$f(xy)=f(x)+f(y)$  — удовлетворяют все логарифмические функции $f(x)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\log <!--\; \; -->\left(x\right)={\log }_a<!--\; \; -->\left(x\right)$$f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)$ ,
• $f(xy)=f(x)f(y)$$f(xy)=f(x)f(y)$  — удовлетворяют все степенные функции $f(x)=\exp <!--\; \; -->\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\log <!--\; \; -->\left(x\right)\right)=x^a$$f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a}$ .

Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение $f(x_1{x}_2)=f(x_1)f(x_2)$$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$  приводится к уравнению $g(y_1+y_2)=g(y_1)+g(y_2)$$g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})$  после замены $g(y)=\log <!--\; \; -->\left|f(\exp <!--\; \; -->y)\right|$$g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|$  (для этого, естественно, нужно, чтобы $f(x)$$f(x)$  не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение $f(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$f(x) \equiv 0$ . Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».

Другие:

• $f(x+y)+f(x-<!--\; -\; -->y)=2[f(x)+f(y)]$$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]$  — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет $f(x)=k{x}^2$$f(x)=kx^{2}$ ,
• $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}$  — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции $f(x)=ax+b$$f(x)=ax+b$ ,
• $f(x+y)f(x-<!--\; -\; -->y)=f(x{)}^2$$f(x+y)f(x-y)=f(x)^{2}$  — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет $f(x)=a{c}^x$$f(x)=ac^{x}$ ,
• $f(x+y)+f(x-<!--\; -\; -->y)=2[f(x)f(y)]$$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)f(y)]$  — уравнение Даламбера,
• $f(h(x))=f(x)+1$$f(h(x))=f(x)+1$  — уравнение Абеля^[en],
• $f(h(x))=cf(x)$$f(h(x))=cf(x)$  — уравнение Шрёдера^[en], решением является функция Кёнигса, связанная с функцией $h(x)$$\textstyle h(x)$ .

Рекуррентные соотношенияПравить

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.

Линейные рекуррентные соотношения:

$a(n)=\underset{i=1,k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{c}_i\cdot <!--\; \cdot \; -->a(n-<!--\; -\; -->i)$$a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(n-i)$ 

(где $c_1,c_2,\dots <!--\; \dots \; -->,c_k$$c_{1},c_{2},\dots ,c_{k}$  — константы, не зависящие от $n$$n$ ) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения:

$a(n)=3a(n-<!--\; -\; -->1)+4a(n-<!--\; -\; -->2)$$a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)$ ,

достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.

Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию $a(n)={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^n$$a(n)=\lambda ^{n}$  с неопределённым параметром $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  и попробовать найти те $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2=3\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+4$$\lambda ^{2}=3\lambda +4$  с двумя различными корнями $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=-<!--\; -\; -->1$$\lambda =-1$  и $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=4;$$\lambda =4;$  поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула $a(n)=d_1{4}^n+d_2(-<!--\; -\; -->1{)}^n$$a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n}$  (константы $d_1$$d_{1}$  и $d_2$$d_{2}$  подбираются так, чтобы при $n=1$$n=1$  и $n=2$$n=2$  формула давала нужные значения для величин $a(1)$$a(1)$  и $a(2)$$a(2)$ ). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции $n{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^n,$$n\lambda ^{n},$  $n^2{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^n$$n^{2}\lambda ^{n}$  и так далее.

Одним из широко известных рекуррентных соотношений является $a(n)=a(n-<!--\; -\; -->1)+a(n-<!--\; -\; -->2)$$a(n)=a(n-1)+a(n-2)$ , определяющее последовательность Фибоначчи.

Решение функциональных уравненийПравить

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых $f(f(x))=x$$f(f(x)) = x$ ; простейшие инволюции:

$f(x)=-<!--\; -\; -->x$$f(x) = -x$ , $f(x)=\frac{1}{x}$$f(x)={\frac {1}{x}}$ , $f(x)=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}+1$$f(x)={\frac {1}{1-x}}+1$ , $f(x)=1-<!--\; -\; -->x$$f(x)=1-x$ .

Пример. Для решения уравнения:

$f(x+y{)}^2=f(x{)}^2+f(y{)}^2$$f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}$ 

для всех $x,y\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x,y\in \mathbb {R}$  и $f:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , положим $x=y=0$$x=y=0$ : $f(0{)}^2=f(0{)}^2+f(0{)}^2$$f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}$ . Тогда $f(0{)}^2=0$$f(0)^{2}=0$  и $f(0)=0$$f(0)=0$ . Далее, положив $y=-<!--\; -\; -->x$$y=-x$ :

$f(x-<!--\; -\; -->x{)}^2=f(x{)}^2+f(-<!--\; -\; -->x{)}^2$$f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$ 

$f(0{)}^2=f(x{)}^2+f(-<!--\; -\; -->x{)}^2$$f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$ 

$0=f(x{)}^2+f(-<!--\; -\; -->x{)}^2$$0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$ 

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит $f(x{)}^2=0$$f(x)^{2}=0$  для всех $x$$x$  и $f(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$f(x)\equiv 0$  является единственным решением этого уравнения.

ЛитератураПравить

• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
• Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
• Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
• Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

СсылкиПравить

• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text on functional equations in problem solving.