Однородное дифференциальное уравнение

Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений.

Однородность по аргументуПравить

Обыкновенное уравнение первого порядка $y^{\prime }=f(x,y)$$y'=f(x,y)$  называется однородным относительно x и y, если функция $f(x,y)$$f(x,y)$  является однородной степени 0:

$f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y)={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{0}f(x,y)=f(x,y)$$f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{0}f(x,y)=f(x,y)$ .

Однородную функцию можно представить как функцию от $\frac{y}{x}$${\frac {y}{x}}$ :

$f(x,y)=f\left(1,\frac{y}{x}\right)=g\left(\frac{y}{x}\right)$$\ f(x,y)=f\left(1,{\frac {y}{x}}\right)=g\left({\frac {y}{x}}\right)$ .

Используем подстановку $\frac{y}{x}=u$${\frac {y}{x}}=u$ , а затем воспользуемся правилом произведения: $\frac{d(ux)}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\frac{dx}{dx}=x\frac{du}{dx}+u$${\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u$ . Тогда дифференциальное уравнение $y^{\prime }=f(x,y)$$y'=f(x,y)$  сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

$u^{\prime }x+u=g(u)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\frac{du}{u-<!--\; -\; -->g(u)}+\frac{dx}{x}=0$$u'x+u=g(u)\Rightarrow {\frac {du}{u-g(u)}}+{\frac {dx}{x}}=0$ .

Однородность по правой частиПравить

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение $F(y,y^{\prime },y^{″},\dots <!--\; \dots \; -->)=G(x)$$F(y,y',y'',\ldots )=G(x)$  — однородно, если $G(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$G(x)\equiv 0$ .

В случае, если $G(x)\ne <!--\; \ne \; -->0$$G(x)\neq 0$ , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Именно для решения линейных однородных дифференциальных уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.

См. такжеПравить

• Однородная функция
• Однородное уравнение
• Уравнение, приводящее к однородному