Многочлен

Запрос «Полином» перенаправляется сюда; о гидроакустической станции см. Полином (гидроакустическая станция).

Многочле́н (или полино́м от греч. πολυ- «много» + лат. nomen «имя») от $n$$n$ переменных $x_1,x_2,...x_n$$x_{1},x_{2},...x_{n}$— это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

График многочлена 7 степени.

$P(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\underset{I}{\sum <!--\; \sum \; -->}{c}_I{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{i_n}$$P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$, где

• $I=(i_1,i_2,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n)$$I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})$ — набор из $n$$n$ целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
• $c_I$$c_{I}$ — число, именуемое коэффициентом многочлена, зависящее только от мультииндекса $\mathit{I}$${\mathit {I}}$.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

$P(x)=c_0+c_1{x}^1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_m{x}^m$$P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m}$, где

• $c_i$$c_{i}$ — фиксированные коэффициенты,
• $x$$x$ — переменная.

С помощью многочлена вводятся понятия «алгебраическое уравнение», «алгебраическая функция» и «алгебраическое число».

Изучение и применениеПравить

 

Графики многочленов Бернулли

Изучение полиномиальных уравнений и их решений долгое время составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в математическом анализе.

Благодаря тому, что вычисления, связанные с многочленами, просты по сравнению с более сложными классами функций, а также тому факту, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационную теорему Вейерштрасса), были развиты методы разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии. Её ключевым объектом являются множества, определённые как решения систем полиномиальных уравнений.

Особые свойства преобразования коэффициентов при перемножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения при помощи многочленов свойств различных объектов.

Связанные определенияПравить

• Многочлен вида $c{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{i_n}$$cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$  называется одночленом или мономом мультииндекса $I=(i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n)$$I=(i_{1},\dots ,\,i_{n})$ .
• Одночлен, соответствующий мультииндексу $I=(0,\dots <!--\; \dots \; -->,0)$$I=(0,\dots ,\,0)$  называется свободным членом.
• Полной степенью (ненулевого) одночлена $c_I{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{i_n}$$c_{I}x_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$  называется целое число $|I|=i_1+i_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+i_n$$|I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$ .
• Множество мультииндексов $\mathit{I}$${\mathit {I}}$ , для которых коэффициенты $c_I$$c_{I}$  ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
• Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля либо принимается неопределённой, либо доопределяется значением $-<!--\; -\; -->1$$-1$  или $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$  (см. степень нулевого многочлена).
• Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,
• Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом или триномом.
• Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца $R$$R$  (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом $R$$R$  без делителей нуля) которое обозначается $R[x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n]$$R[x_1,x_2,\dots,x_n]$ .
• Для многочлена $p(x)$$p(x)$  одной переменной, решение уравнения $p(x)=0$$p(x)=0$  называется его корнем.

Полиномиальные функцииПравить

Пусть $A$$A$  — алгебра над кольцом $R.$$R.$  Произвольный многочлен $p(x)\in <!--\; \in \; -->R[x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n]$$p(x)\in R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$  определяет полиномиальную функцию

$p_R:<!--\; :\; -->A\to <!--\; \to \; -->A.$$p_{R}\colon A\to A.$ 

Чаще всего рассматривают случай $A=R.$$A=R.$ 

В случае, если $R$$R$  — поле вещественных или комплексных чисел (или любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция $f_p:<!--\; :\; -->R^n\to <!--\; \to \; -->R$$f_{p}\colon R^{n}\to R$  полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены $p_1(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->x$$p_{1}(x)\equiv x$  и $p_2(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->x^2$$p_{2}(x)\equiv x^{2}$  из ${\mathbb{Z}}_2[x]$$\mathbb{Z } _{2}[x]$  определяют тождественно равные функции ${\mathbb{Z}}_2\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{Z}}_2$$\mathbb{Z } _{2}\to \mathbb{Z } _{2}$ .

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией.

Виды многочленовПравить

• Многочлен одной переменной называется унитарным, нормированным или приведённым, если его старший коэффициент равен единице.
• Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется однородным.
  • Например $x^2+xy+y^2$$x^{2}+xy+y^{2}$  — однородный многочлен двух переменных, а $x^2+y+1$$x^{2}+y+1$  не является однородным.
• Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

СвойстваПравить

• Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
• Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
• Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал может быть порождён одним элементом.
  • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.
• Теорема о рациональных корнях.

ДелимостьПравить

См. также: Деление многочленов столбиком

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение многочленов $pq$$pq$  делится на неприводимый многочлен $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , то p или q делится на $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ . Каждый многочлен степени большей нуля разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен $x^4-<!--\; -\; -->2$$x^{4}-2$ , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного $x$$x$  разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого $n>2$$n>2$  существуют многочлены от $n$$n$  переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщенияПравить

• Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется Многочлен Лорана.
• Квазимногочлен
• Тригонометрический многочлен
• Степенной ряд

См. такжеПравить

• Базис Грёбнера
• Позином
• Сплайн
• Теорема Гаусса — Люка

ЛитератураПравить

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. — М., 1968.
• Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М., 1965.
• Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
• Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

СсылкиПравить

• Многочлен / А. И. Маркушевич // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.