Многогранник Ньютона

Многогранник Ньютона — многогранник с целочисленными вершинами в n-мерном евклидовом пространстве, который строится по многочлену от n переменных.

КонструкцияПравить

Предположим

$f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\sum <!--\; \sum \; -->a_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n}{x}_1^{i_1}\dots <!--\; \dots \; -->x_n^{i_n}$$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum a_{i_{1},\dots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\dots x_{n}^{i_{n}}$ 

есть многочлен от n переменных. Обозначим через $I$$I$  множество всех мультииндексов $i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n$$i_{1},\dots ,i_{n}$  таких, что $a_{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n}\ne <!--\; \ne \; -->0$$a_{i_{1},\dots ,i_{n}}\neq 0$ . По определению многочлена $I$$I$  конечно.

Выпуклая оболочка

$N_f=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}<!--\; \; -->I\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$N_{f}=\mathop {\rm {Conv}} I\subset \mathbb {R} ^{n}$ 

называется многогранником Ньютона многочлена $f$$f$ .

СвойстваПравить

• Типичное число ненулевых решений системы полиномиальных уравнений $f_1=\cdots <!--\; \cdots \; -->=f_n=0$$f_{1}=\dots =f_{n}=0$  равно

  $n!\cdot <!--\; \cdot \; -->V(N_1,\dots <!--\; \dots \; -->,N_n),$$n!\cdot V(N_{1},\dots ,N_{n}),$ 

где $N_i$$N_{i}$  многогранник Ньютона многочлена $f_i$$f_{i}$  и $V(N_1,\dots <!--\; \dots \; -->,N_n)$$V(N_{1},\dots ,N_{n})$  — их смешанный объём.

Вариации и обобщенияПравить

• Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогичная конструкция для типичных линейных комбинаций данных многочленов.

ЛитератураПравить

• Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980.
• Valentina Kiritchenko, Evgeny Smirnov, Vladlen Timorin, Ideas of Newton-Okounkov bodies, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach, No. 8/2015: