Мультииндекс

Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.

Математическая запись мультииндексаПравить

n-мерный мультииндекс — это вектор

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n),$$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),$ 

составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}_0^n$$\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$  и вектора $x=(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$  вводятся:

• Покомпонентное сложение и вычитание

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1\pm <!--\; \pm \; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2\pm <!--\; \pm \; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n\pm <!--\; \pm \; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n)$$\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$ 

• Частичная упорядоченность

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\iff <!--\; \iff \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i\le <!--\; \le \; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i\in <!--\; \in \; -->\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,n\}$$\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$ 

• Абсолютное значение как сумма компонентов

$|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ 

• Факториал

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}!={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1!\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2!\cdots <!--\; \cdots \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n!$$\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$ 

• Биномиальный коэффициент

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2}{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2})\cdots <!--\; \cdots \; -->(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n})$${\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}$ 

• Возведение в степень

$x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=x_1^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{x}_2^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2}\dots <!--\; \dots \; -->x_n^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}$$x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$ 

• Старшая частная производная

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_2^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2}\dots <!--\; \dots \; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_n^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}$$\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}$  где ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i}:={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i}$$\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}$ 

Некоторые приложенияПравить

Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:

Мультиномиальные коэффициентыПравить

Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:

$(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i{)}^k=\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|=k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{k!}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}!}{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$${\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }$ 

Формула ЛейбницаПравить

Для гладких функций f и g

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(fg)=\underset{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}){\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}f{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}g.$$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.$ 

Разложение в ряд ТейлораПравить

Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение

$f(x+h)=\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}_0^n}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}f(x)}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}!}{h}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}.$$f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.$ 

Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора

$f(x+h)=\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|\le <!--\; \le \; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}f(x)}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}!}{h}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+R_n(x,h),$$f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),$ 

где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим

$R_n(x,h)=(n+1)\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|=n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{h^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}!}{\int <!--\; \int \; -->}_0^1(1-<!--\; -\; -->t{)}^n{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}f(x+th)dt.$$R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.$ 

Оператор дифференцированияПравить

Формальный оператор взятия частной производной N-го порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:

$P(\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->})=\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|\le <!--\; \le \; -->N}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x){\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}.$$P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.$ 

Интегрирование по частямПравить

Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$\Omega \subset {\mathbb {R}}^{n}$  имеем:

${\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}u({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}v)dx=(-<!--\; -\; -->1{)}^{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|}{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}u)vdx.$$\int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.$ 

Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.

Пример использования в теоремеПравить

Если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}_0^n$$\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$  — это мультииндексы и $x=(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , то

$\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}$ 

ДоказательствоПравить

Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:

${\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)$ 

Положим $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)$$\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ , $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=({\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n)$$\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$  и $x=(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ . Тогда

${\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}$ 

Здесь каждое дифференцирование $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i$$\partial /\partial x_{i}$  сводится к соответствующей обыкновенной производной $d/d{x}_i$$d/dx_{i}$ , так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция $x_i^{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i}$$x_{i}^{\beta _{i}}$  зависит только от $x_i$$x_{i}$ . Поэтому из уравнения (1) следует, что ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{x}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\partial ^{\alpha }x^{\beta }$  исчезает как только α_i > β_i для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем

$\frac{d^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i}}{d{x}_i^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i}}{x}_i^{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i}=\frac{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i!}{({\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i)!}{x}_i^{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i}$${\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}$ 

для каждого $i$$i$ .$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$$\Box$ 

СсылкиПравить

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

Эта статья использует материалы со страницы multi-index derivative of a power на PlanetMath, которая имеет лицензию CC-BY-SA.