Одночлен

Одночле́н (устаревшее: моно́м) — алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового множителя (коэффициента) на одну или нескольких переменных, взятых каждая в натуральной степени. Степенью одночлена называется сумма степеней всех входящих в него переменных. Одночленом также считается отдельное число (без буквенных множителей), степень такого одночлена равняется нулю^[1].

Примеры:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $-7$ $-7$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x^{2}$ $x^{2}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $c^{2}xy$ $c^{2}xy$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $-a$ $-a$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $5ax^{3}$ $5ax^{3}$

Если числовой коэффициент одночлена не задан (например, в одночлене $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x^{2}$ $x^{2}$ ), подразумевается коэффициент 1 или $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $-1,$ $-1,$ в зависимости от знака перед одночленом^[2].

Не являются одночленами выражения: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a+b;\ {\frac {a-b}{c}}.$ $a+b;\ {\frac {a-b}{c}}.$

СвойстваПравить

Произведение одночленов также является одночленом. При этом перемножаются коэффициенты и складываются показатели степеней для одинаково обозначенных переменных^[1].

Пример: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $3ab\cdot (2{,}5a^{3}c)=7{,}5a^{4}bc.$

Возведение одночлена в натуральную степень также даёт одночлен.

Одночлены называются подобными, если они отличаются только коэффициентом (или вовсе не отличаются), а переменные и их степени полностью совпадают. При сложении или вычитании подобных одночленов получается одночлен, подобный исходным; его коэффициенты получаются соответственно сложением или вычитанием коэффициентов исходных одночленов^[1].

Одночлен является частным случаем многочлена, не содержащим операции сложения. Сложение одночленов, не являющихся подобными, даёт многочлен; более того, многочлен можно именно так определить. Степень многочлена — это максимальная из степеней входящих в него одночленов.

Вариации и обобщенияПравить

В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они полезны, например, в теории рядов Лорана. Аналогично в теории рядов Пюизё естественно рассматривать одночлены с рациональными степенями.

Коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца. Множество одночленов над заданным кольцом образует коммутативную полугруппу с единицей, операции над одночленами выполняются аналогично числовым одночленам^[3].

См. такжеПравить

Многочлен

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² ³ Гусев, Мордкович, 2013, с. 86—88.
↑ Одночлен — статья из Большой советской энциклопедии.
↑ Одночлен. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1184. — 1184 с.

ЛитератураПравить

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.

СсылкиПравить

Monomial Архивная копия от 19 октября 2021 на Wayback Machine. Encyclopedia of Mathematics.

[GM-1] ¹ ² ³ Гусев, Мордкович, 2013, с. 86—88.

[БСЭ-2] Одночлен — статья из Большой советской энциклопедии.

[3] Одночлен. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1184. — 1184 с.

[1]

[2]

[3]