Факториальное кольцо
Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.
ОпределениеПравить
Более формально, факториальное кольцо определяется как область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент x можно записать в виде произведения (пустого произведения, если x обратим) неприводимых элементов pi и обратимого элемента u:
- x = u p1 p2 ⋯ pn
и это разложение единственно в следующем смысле: Если q1, … , qm — неприводимые элементы R и w — обратимый элемент, такие что
- x = w q1 q2 ⋯ qm ,
то m = n и существует биективное отображение φ : {1, … , n} → {1, … , m} такое что pi — элемент, ассоциированный с qφ(i) для i ∈ {1, … , n}.
ПримерыПравить
- Все евклидовы кольца, в частности, кольцо целых чисел (см. основная теорема арифметики) и кольцо гауссовых целых чисел. См. статьи Факторизация целых чисел и Факторизация гауссовых чисел.
- Если R факториально, то и кольцо многочленов R[x] факториально, отсюда следует, что и кольцо R[x1, … , xn] факториально.
- Теорема Аусландера — Буксбаума: каждое регулярное локальное кольцо является факториальным.
- Кольцо формальных степенных рядов над областью главных идеалов является факториальным.
- Пусть R — поле характеристики не 2. Клейн и Нагата показали, что R[x1, … , xn]/Q факториально, если Q — невырожденная квадратичная форма и n не меньше пяти.
- Локализация факториального кольца факториальна. Более того, подходящей локализацией и из нефакториального кольца можно получить факториальное кольцо. Например, кольцо не факториально (т.к. ), а его локализация факториальна.
Эквивалентные формулировкиПравить
Пусть A — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:
- A факториально.
- Каждый ненулевой простой идеал A содержит простой элемент (то есть такой элемент, что главный идеал, порожденный этим элементом, прост).
- A — кольцо Крулля, в котором каждый дивизорный идеал главный (так определяется факториальное кольцо у Бурбаки).
- A — кольцо Крулля и каждый простой идеал, не содержащий других ненулевых простых идеалов, главный.
Свойства факториальных колецПравить
1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.
2. Лемма о совместной делимости. Если элемент факториального кольца делится на каждый из элементов , , … , , причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда делится на их произведение.
3. Если , причём элементы попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид , где — обратимые элементы кольца.
4. Любую дробь , составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы и (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что .
5. Теорема Гаусса. Если дробь является корнем многочлена со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы , а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца ), тогда лежит в , то есть делится на в кольце . (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью).
ЛитератураПравить
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1971.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
- Ленг С. Алгебра. — Мир, 1967.