Это не официальный сайт wikipedia.org 01.01.2023

Факториальное кольцо — Википедия

Факториальное кольцо

Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1  ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

ОпределениеПравить

Более формально, факториальное кольцо определяется как область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент x можно записать в виде произведения (пустого произведения, если x обратим) неприводимых элементов pi и обратимого элемента u:

x = up1p2 ⋯ pn

и это разложение единственно в следующем смысле: Если q1, … , qm — неприводимые элементы R и w — обратимый элемент, такие что

x = wq1q2 ⋯ qm ,

то m = n и существует биективное отображение φ : {1, … , n} → {1, … , m} такое что pi — элемент, ассоциированный с qφ(i) для i ∈ {1, … , n}.

ПримерыПравить

Эквивалентные формулировкиПравить

Пусть A — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:

Свойства факториальных колецПравить

1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.

2. Лемма о совместной делимости. Если элемент N   факториального кольца делится на каждый из элементов a 1  , a 2  , … , a k  , причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда N   делится на их произведение.

3. Если N n = a 1 a 2 a k  , причём элементы a 1 , a 2 , . . . , a k   попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид a i = u i b i n  , где u i   — обратимые элементы кольца.

4. Любую дробь a / b  , составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы p   и q   (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что a / b = p / q  .

5. Теорема Гаусса. Если дробь a / b   является корнем многочлена x n + c 1 x n 1 + + c n   со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы a , b  , а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца R  ), тогда a / b   лежит в R  , то есть a   делится на b   в кольце R  . (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью).

ЛитератураПравить

  • Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1971.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
  • Ленг С. Алгебра. — Мир, 1967.