Область целостности

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эта статья следует соглашению о том, что области целостности имеют мультипликативный нейтральный элемент, обычно обозначаемый как 1, но некоторые авторы не требуют, чтобы области целостности имели мультипликативный нейтральный элемент.

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

ПримерыПравить

• Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ .
• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
• Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо $\mathbb{Z}[x]$${\mathbb {Z}}[x]$  многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо $\mathbb{R}[x,y]$${\mathbb {R}}[x,y]$  многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
• Множество действительных чисел вида $a+b\sqrt{2}$$a+b{\sqrt {2}}$  есть подкольцо поля $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида $a+bi$$a+bi$ , где $a$$a$  и $b$$b$  целые (множество гауссовых целых чисел).
• Пусть $U$$U$  — связное открытое подмножество комплексной плоскости $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ . Тогда кольцо $H(U)$$H(U)$  всех голоморфных функций $f:U\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$f:U\rightarrow {\mathbb {C}}$  будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
• Если $K$$K$  — коммутативное кольцо, а $I$$I$  — идеал в $K$$K$ , то факторкольцо $K/I$$K/I$  целостное тогда и только тогда, когда $I$$I$  — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементыПравить

Пусть $a$$a$  и $b$$b$  — элементы целостного кольца $K$$K$ . Говорят, что «$a$$a$  делит $b$$b$ » или «$a$$a$  — делитель $b$$b$ » (и пишут $a\mid <!--\; \mid \; -->b$$a\mid b$ ), тогда и только тогда, когда существует элемент $x\in <!--\; \in \; -->K$$x\in K$  такой, что $ax=b$$ax=b$ .

Делимость транзитивна: если $a$$a$  делит $b$$b$  и $b$$b$  делит $c$$c$ , то $a$$a$  делит $c$$c$ . Если $a$$a$  делит $b$$b$  и $c$$c$ , то $a$$a$  делит также их сумму $b+c$$b+c$  и разность $b-<!--\; -\; -->c$$b-c$ .

Для кольца $K$$K$  с единицей делители единицы, то есть элементы $a\in <!--\; \in \; -->K$$a\in K$ , делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в $K$$K$  имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы $a$$a$  и $b$$b$  называются ассоциированными, если $a$$a$  делит $b$$b$  и $b$$b$  делит $a$$a$ . $a$$a$  и $b$$b$  ассоциированны тогда и только тогда, когда $a=be$$a=be$ , где $e$$e$  — обратимый элемент.

Ненулевой элемент $q$$q$ , не являющийся единицей, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся обратимыми.

Ненулевой необратимый элемент $p$$p$  называется простым, если из того, что $p\mid <!--\; \mid \; -->ab$$p\mid ab$ , следует $p\mid <!--\; \mid \; -->a$$p\mid a$  или $p\mid <!--\; \mid \; -->b$$p\mid b$ . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если $p$$p$  — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал $(p)$$(p)$  будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

СвойстваПравить

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение^[en] целостных колец тоже будет целостным кольцом.
• Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.

Вариации и обобщенияПравить

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

ЛитератураПравить

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.