Переменная величина

Переме́нная — это математический объект, который занимает некоторое множество значений (как правило, числовых) и может изменять своё значение в его пределах. Переменные используются, в частности, в задании математических выражений. Понятие переменной широко используется в таких областях, как математика, естественные науки, техника и программирование. Примерами переменных могут служить: температура воздуха, параметр функции и многое другое.

Переменная характеризуется только множеством значений, которые она может принимать^[1]. Переменную обозначают символом, являющимся общим для каждого из её значений.

Русский термин «переменная величина» происходит от латинского словосочетания quantitas variabilis, которая, как и в русском языке, сокращается до слова variabilis (‘переменная’).

Переменные в математикеПравить

В математике переменной может быть как реальная измеримая физическая величина, так и некая абстрактная величина, прямо не связанная с описанием реального мира.

В математическом анализе и большинстве смежных разделов математики под переменной $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ понимают каждый элемент некоторого множества, состоящего, например, из вещественных чисел. Фиксированный элемент этого множества называется значением переменной. Само множество называется областью изменения переменной.

Задание области изменения переменной эквивалентно заданию самой переменной.

Переменные обозначаются малыми буквами латинского или греческого алфавита (возможно, с индексами): $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x,~y,~\varepsilon .$
Области изменения соответствующих переменных обозначаются обычно теми же символами, взятыми в фигурные скобки: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\left\{x\right\},~\left\{y\right\},~\left\{\varepsilon \right\}$ .

При моделировании процессов переменные необходимо отличать от параметров. При этом, переменная в одном контексте может быть параметром в другом.

В прикладной статистике переменная — оценочный фактор или характеристика, индивидуальный или системный атрибут, изменение которых ожидается с течением времени или между отдельными лицами, например такая переменная, как возраст.

Переменная и неизвестноеПравить

Нужно отметить, что неизвестные в уравнениях, неравенствах и других подобных задачах обозначаются аналогично переменным, например в уравнении $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2x=6$ , где буквой $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ обозначено неизвестное, а не переменная. Тем не менее эти понятия весьма схожи и зависят от контекста.

Суть различия между этими понятиями можно пояснить так.

Запись $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2x=6$ можно, с одной стороны, трактовать как утверждение о возможности найти значение неизвестного $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ . В этом случае $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ — обозначение неизвестного числа.

С другой стороны запись $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2x=6$ можно трактовать как предикат, принимающий значение «истина» при одних значениях $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ , и значение «ложь» при других. В этом случае $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ — переменная. На её место в выражении могут подставляться различные значения с целью определения логического (булева) значения записанного предиката.

ИсторияПравить

В середине XVII века Рене Декарт в своей «Геометрии» предложил использовать для известных параметров начальные буквы алфавита: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a,b,c\dots ,$ а для неизвестных — последние буквы: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x, y, z .$ Декарт не объяснял свой выбор. Некоторые историки пытались объяснить выбор буквы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ в качестве неизвестной: так, например, словарь Уэбстера (1909—1916) утверждал, что переменная $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ появилась как транскрипция арабской буквы ش — первой буквой в слове شيء‎, которое переводится на русский языка как «что-то», «нечто». Тем не менее эта, а также подобные версии, не находят подтверждений и игнорируют тот факт, что наряду с $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ Декарт использовал ещё $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $y$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $z$ ^[2]^[3].

Декарт считал значения переменных всегда неотрицательными, а отрицательные величины отражал знаком «минус» перед переменной. Если знак коэффициента был неизвестен, Декарт ставил многоточие^[4]. Но в 1657 году нидерландский математик Иоганн Худде позволил буквенным переменным принимать значения любого знака^[5].

Ф. Кэджори характеризует декартовскую запись степеней как самую удачную и гибкую символику во всей алгебре — она не только облегчала преобразования, но и стимулировала расширение понятия возведения в степень на отрицательные, дробные и даже комплексные невещественные показатели, а также появление в математике степенной и показательной функции; все эти достижения трудно было бы осуществить при использовании обозначений XVI века^[6].

Переменные в программировании Править

В языках программирования переменная представляется именем (лексический идентификатор) абстрактного/виртуального или физического участка машинной памяти.

Обычно переменная статически или динамически соотносится с типом данных и имеет некоторый допустимый диапазон значений, которые она может принимать. Например, логическая (булевская) переменная может принимать только два значения — «истина» и «ложь». Допустимые диапазоны изменения целых и вещественных переменных зависят от соглашений/стандартов языка программирования и способов реализации на целевой вычислительной системе.

В языках программирования переменные, как правило, именуются произвольной последовательностью из букв, цифр и символов, например, «time», «x12», «_foo».

Такое понятие переменной в некотором смысле схоже с математическим. Математики в XVII веке уже использовали переменную, чтобы «забронировать» в формуле место, на которое можно подставлять конкретные значения. Буквенные обозначения резервируют и именуют области этой памяти.

Если то, что называется формулой в математике, в программировании является выражением или алгоритмом, то понятие переменной в математике, наоборот, совпадает с понятием переменной в программировании.

Если формула используется только для выражения отношения между элементами множеств, то нет необходимости переменные определять как то, что занимает ячейки памяти.

Переменные в физике Править

В физике переменная — это некоторый математический объект, способный изменять своё значение, физическая величина. Он служит атрибутом модели реальных физических процессов. Множество значений, которые может принимать конкретная переменная, определяется из физических соображений. Физические переменные связаны друг с другом физическими законами, на основе которых строятся математические модели различной степени сложности. Переменные в физике, как правило, характеризуются размерными значениями.

ПримечанияПравить

↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §340.
↑ Jeff Miller. Earliest Uses of Symbols for Variables (англ.). Дата обращения: 22 августа 2015. Архивировано 5 июля 2015 года.
↑ История математики, том II, 1970, с. 40—46.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §392.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §315.

ЛитератураПравить

История математики. Т. II. Математика XVII столетия / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 301 с.
Cajori F. . A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
Cajori F. . A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xii + 392 p. — ISBN 978-1-60206-713-4.

[ilyin-1] В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

[_06c154fbdbe7c564-2] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §340.

[3] Jeff Miller. Earliest Uses of Symbols for Variables (англ.). Дата обращения: 22 августа 2015. Архивировано 5 июля 2015 года.

[IM2-40-4] История математики, том II, 1970, с. 40—46.

[_df65bced9d8068a4-5] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §392.

[_f8d86225704da9c6-6] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §315.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]