Многочлены Бернулли

Многочлены Бернулли — последовательность многочленов, возникающая при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица; частный случай последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли примечательны тем, что число корней в интервале $[0,1]$$\ [0,1]$ не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.

Многочлены Бернулли

Названны в честь Якоба Бернулли.

ОпределенияПравить

Многочлены Бернулли $B_n(x)$$\ B_{n}(x)$  можно определить различными способами в зависимости от удобства.

Явное задание:

$B_n(x)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^k{B}_{n-<!--\; -\; -->k}{x}^k$$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{n-k}x^{k}$ ,

где $C_n^k$$C_{n}^{k}$  — биномиальные коэффициенты, $B_k$$\ B_{k}$  — числа Бернулли, или:

$B_n(x)=\underset{m=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{m+1}\underset{k=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^k{C}_m^k(x+k{)}^n.$$B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.$ 

Производящей функцией для многочленов Бернулли является:

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-<!--\; -\; -->1}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$ 

Можно представить многочлены Бернулли дифференциальным оператором:

$B_n(x)=\frac{D}{e^D-<!--\; -\; -->1}{x}^n$$B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}$ , где $D$$D$  — оператор формального дифференцирования.

Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:

$B_0(x)=1,$$B_{0}(x)=1,$ 

$B_1(x)=x-<!--\; -\; -->\frac{1}{2},$$B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},$ 

$B_2(x)=x^2-<!--\; -\; -->x+\frac{1}{6},$$B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},$ 

$B_3(x)=x^3-<!--\; -\; -->\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x,$$B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,$ 

$B_4(x)=x^4-<!--\; -\; -->2x^3+x^2-<!--\; -\; -->\frac{1}{30},$$B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},$ 

$B_5(x)=x^5-<!--\; -\; -->\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-<!--\; -\; -->\frac{1}{6}x,$$B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,$ 

$B_6(x)=x^6-<!--\; -\; -->3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}.$$B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.$ 

СвойстваПравить

Начальные значения многочленов Бернулли при $x=0$$\ x=0$  равны соответствующим числам Бернулли:

$B_n(0)=B_n$$\ B_{n}(0)=B_{n}$ .

Производная от производящей функции:

$t{e}^{tx}\frac{1}{e^t-<!--\; -\; -->1}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_n^{\prime }(x)}{n!}{t}^n$$te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}$ .

Левая часть отличается от производящей функции только множителем $t$$\ t$ , поэтому:

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_n^{\prime }(x)}{n!}{t}^n=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_n(x)}{n!}{t}^{n+1}$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}$ .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $t$$\ t$ :

$\frac{B_n^{\prime }(x)}{n!}=\frac{B_{n-<!--\; -\; -->1}(x)}{(n-<!--\; -\; -->1)!}$${\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!}}$ ,

откуда:

$B_n^{\prime }(x)=n{B}_{n-<!--\; -\; -->1}(x)$$\ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)$ .

(Функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).

Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:

$B_n(x)=B_n+n{\int <!--\; \int \; -->}_0^x{B}_{n-<!--\; -\; -->1}(t)dt$$\ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt$ .

Также бывает полезно свойство сбалансированности:

${\int <!--\; \int \; -->}_0^1{B}_n(x)dx=0$$\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0$  (при $n>0$$n>0$ )

Теорема об умножении аргумента: если $m$$m$  — произвольное натуральное число, то:

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{B}_n(mx)\frac{t^n}{n!}=\frac{t{e}^{mxt}}{e^t-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{m}{e}^{mxt}\frac{mt(1+e^t+\cdots <!--\; \cdots \; -->+e^{(m-<!--\; -\; -->1)t})}{e^{mt}-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{m}\underset{s=0}{\overset{m-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{e^{\left(x+\frac{s}{m}\right)mt}mt}{e^{mt}-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{m}\underset{s=0}{\overset{m-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_n\left(x+\frac{s}{m}\right)m^n}{n!}{t}^n.$$\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {te^{mxt}}{e^{t}-1}}={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left(x+{\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n!}}t^{n}.$ 

Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:

$B_n(mx)=m^{n-<!--\; -\; -->1}\underset{s=0}{\overset{m-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{B}_n\left(x+\frac{s}{m}\right)$$B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)$ .

Симметрия:

$B_n(1-<!--\; -\; -->x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n{B}_n(x),$$\ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),$ 

$(-<!--\; -\; -->1{)}^n{B}_n(-<!--\; -\; -->x)=B_n(x)+n{x}^{n-<!--\; -\; -->1}.$$\ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.$ 

СсылкиПравить

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.