Функтор (математика)

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов^[en].

Впервые функторы начали рассматривать в алгебраической топологии, в которой топологическим пространствам сопоставляются алгебраические объекты (например, фундаментальная группа), а непрерывным отображениям — гомоморфизмы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.

Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа Карнапа, при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию.

ОпределениеПравить

 

Функтор $F$$F$  должен сохранять композицию морфизмов $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  и $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ 

(Ковариантный) функтор $\mathcal{F}:<!--\; :\; -->\mathcal{C}\to <!--\; \to \; -->\mathcal{D}$${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$  из категории $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  в категорию $\mathcal{D}$$\mathcal{D}$  — это отображение, которое:

• сопоставляет каждому объекту $X\in <!--\; \in \; -->\mathcal{C}$$X\in {\mathcal {C}}$  объект $\mathcal{F}(X)\in <!--\; \in \; -->\mathcal{D},$${\mathcal {F}}(X)\in {\mathcal {D}},$ 
• сопоставляет каждому морфизму $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  в категории $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  морфизм $\mathcal{F}(f):\mathcal{F}(X)\to <!--\; \to \; -->\mathcal{F}(Y)$${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}(Y)$  в категории $\mathcal{D}$$\mathcal{D}$ . Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
  • $\mathcal{F}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathcal{F}(A)}$${\mathcal {F}}({\mathrm {id}}_{A})={\mathrm {id}}_{{{\mathcal {F}}(A)}}$ ,
  • $\mathcal{F}(g\circ <!--\; \circ \; -->f)=\mathcal{F}(g)\circ <!--\; \circ \; -->\mathcal{F}(f)$${\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)$ .

Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.

Аналогичным образом, контравариантный функтор — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  морфизм $\mathcal{F}(f):\mathcal{F}(Y)\to <!--\; \to \; -->\mathcal{F}(X)$${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(Y)\to {\mathcal {F}}(X)$ ), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:

$\mathcal{F}(g\circ <!--\; \circ \; -->f)=\mathcal{F}(f)\circ <!--\; \circ \; -->\mathcal{F}(g)$${\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)$ .

Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории ${\mathcal{C}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ . Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  в $\mathcal{D}$$\mathcal{D}$ » говорят «функтор из ${\mathcal{C}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$  в $\mathcal{D}$$\mathcal{D}$ » (или, иногда, «функтор из $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  в ${\mathcal{D}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$${\mathcal {D}}^{{\mathrm {op}}}$ »).

Бифункторы и мультифункторыПравить

Бифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.

Формально бифункторы определяются как функторы из категории произведения. Например, функтор $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$${\mathrm {Hom}}$  имеет вид ${\mathcal{C}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\times <!--\; \times \; -->\mathcal{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}$${\mathcal C}^{{\mathrm {op}}}\times {\mathcal C}\to {\mathbf {Set}}$ .

Мультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на $n$$n$  переменных.

ПримерыПравить

Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.

• Пусть $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  — подкатегория в категории $\mathcal{D}$$\mathcal{D}$ . В таком случае определён функтор вложения $I:\mathcal{C}\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->\mathcal{D}$$I:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}$ , действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
• Постоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  в фиксированный объект категории $\mathcal{D}$$\mathcal{D}$ , а каждый морфизм $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  — в тождественный морфизм этого объекта.
• Эндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
• Двойственное векторное пространство: отображение, сопоставляющее каждому векторному пространству двойственное к нему, а каждому линейному отображению — двойственное (или транспонированное) отображение, является контравариантным эндофунктором на категории векторных пространств.
• Пусть $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  — конкретная категория, то есть категория, снабженная унивалентным функтором в категорию множеств (частный случай забывающего функтора). С помощью этого функтора объектам категории сопосталяются множества, и можно думать о морфизмах, как о функциях на этих множествах, сохраняющих дополнительную структуру (пример: категории групп, категория колец, категория множеств). Левый сопряжённый (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта (пример: свободный модуль).
• Предпучки: пусть $X$$X$  — топологическое пространство, тогда открытые подмножества $X$$X$  образуют частично упорядоченное множество по отношению включения, обозначаемое $O(X)$$O(X)$ . Как и любому частично упорядоченному множеству, $O(X)$$O(X)$  можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм $U\to <!--\; \to \; -->V$$U\to V$  тогда и только тогда, когда $U\subseteq <!--\; \subseteq \; -->V$$U\subseteq V$ . Контравариантные функторы из $O(X)$$O(X)$  называются предпучками. Например, существует функтор в категорию действительных алгебр, сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
• Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству $X$$X$  с отмеченной точкой $x_0$$x_{0}$  можно сопоставить фундаментальную группу ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)$$\pi _{1}(X,x_{0})$ , элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если $f:X\to <!--\; \to \; -->(Y)$$f:X\to (Y)$  — морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки $x_0$$x_{0}$  можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки $y_0$$y_0$ . Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(X,x_0)$$\pi (X,x_{0})$  в $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(Y,y_0)$$\pi (Y,y_{0})$ . Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
• Касательное и кокасательное расслоение: отображение, сопоставляющее гладкому многообразию его касательное расслоение, а диффеоморфизму многообразий — его дифференциал, является ковариантным функтором из категории гладких многообразий и диффеоморфизмов в категорию векторных расслоений. Аналогично, кокасательное расслоение и кодифференциал диффеоморфизма задают контравариантный функтор.

  Рассмотрение касательного пространства в фиксированной точке задаёт ковариантный функтор из категории гладких многообразий с отмеченной точкой и гладких отображений в категорию векторных пространств.

• Тензорное произведение: если $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  — категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор $\mathcal{C}\times <!--\; \times \; -->\mathcal{C}\to <!--\; \to \; -->\mathcal{C}$${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ , ковариантный по обоим аргументам.
• Симплициальные объекты — произвольные контравариантные функторы из симплициальной категории в различные категории (в категорию множеств — симплициальное множество, в категорию групп — симплициальная группа^[en] и другие); конструкции, обобщающие понятие симплициального комплекса, играют важную роль в алгебраической топологии.
• Функтор $\mathrm{Gal}:{\mathbf{F}\mathbf{l}\mathbf{d}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to <!--\; \to \; -->\mathbf{G}\mathbf{r}\mathbf{p}$$\operatorname {Gal} :\mathbf {Fld} ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Grp}$  сопоставляет полю $F$$F$  его абсолютную группу Галуа $\mathrm{Gal}<!--\; \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{F}/F)$$\operatorname {Gal} ({\bar {F}}/F)$ , а гомоморфизму полей — соответствующий^{[прояснить]} гомоморфизм групп Галуа.

СвойстваПравить

• Функтор переводит коммутативные диаграммы в коммутативные диаграммы.
• Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
• Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов в категории.

Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».

Связь с другими категорными понятиямиПравить

Пусть $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  и $\mathcal{D}$$\mathcal{D}$  — категории. Множество всех морфизмов $\mathcal{F}:<!--\; :\; -->\mathcal{C}\to <!--\; \to \; -->\mathcal{D}$${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$  можно считать множеством объектов другой категории: категории функторов. Морфизмы в этой категории — естественные преобразования функторов.

Функторы довольно часто задают при помощи универсальных свойств, примеры включают в себя тензорные произведения, произведения групп, множеств или векторных пространств, прямые и обратные пределы. Также универсальные конструкции часто задают пару сопряжённых функторов.

ЛитератураПравить

• Букур И., Деляну А. . Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
• Маклейн С. . Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4. — С. 43—67.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. . Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974. — 256 с.

СсылкиПравить

• Marquis, Jean-Pierre. Category Theory (англ.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. — Включает в себя очень полный список литературы. Дата обращения: 30 июля 2013. Архивировано 13 августа 2013 года.