Подкатегория

Подкатегория в теории категорий — категория $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ , объекты которой являются также объектами заданной категории $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal C}$ и морфизмы которой являются также морфизмами в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal C}$ , с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции.

Формально подкатегория $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ для категории $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal C}$ задаётся при помощи:

подкласса объектов $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})\subseteq \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})$ $\mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})\subseteq \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})$ ,
подкласса морфизмов $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})\subseteq \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})\subseteq \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$

таких, что выполняются следующие условия:

для каждого $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})$ $X\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})$ тождественный морфизм $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {id} _{X}$ $\mathrm{id}_X$ принадлежит $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$ ,
для каждого морфизма $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$ его прообраз $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ $X$ и образ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Y$ $Y$ лежат в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})$ $\mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})$ ,
для каждой пары морфизмов $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f$ $f$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $g$ $g$ в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$ их композиция $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f\circ g$ $f \circ g$ лежит в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$ , если она определена в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal C}$ .

Из этих условий следует, что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ является категорией. Существует очевидный унивалентный функтор $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $I\colon {\mathcal {S}}\longrightarrow {\mathcal {C}}$ $I\colon {\mathcal {S}}\longrightarrow {\mathcal {C}}$ , называемый функтором вложения.

Подкатегория $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ называется полной подкатегорией $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal C}$ , если для каждой пары объектов $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X,Y\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})$ $X,Y\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})$ выполнено $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ .

Подкатегория $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ категории $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal C}$ называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $k\colon X\to Y$ $k\colon X\to Y$ в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal C}$ , такой что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Y$ $Y$ принадлежит $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ , также принадлежит $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ . Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.

Подкатегория $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ — широкая, если она содержит все объекты $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal C}$ . В частности, единственная широкая полная подкатегория категории $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal C}$ — сама $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal C}$ .

Отражающая подкатегория — подкатегория, функтор вложения которой имеет левый сопряжённый.

ЛитератураПравить

Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.