Категория произведения

Категория произведения — категория, получаемая из исходных категорий посредством их произведения — операции, обобщающей понятие декартова произведения множеств.

ОпределениеПравить

Категория произведения $\text{[math]}$ C × D определяется следующим образом:

объекты:
пары объектов $\text{[math]}$ (A, B), где $\text{[math]}$ A — объект $\text{[math]}$ C и $\text{[math]}$ B — объект $\text{[math]}$ D;
морфизмы из $\text{[math]}$ (A₁, B₁) в $\text{[math]}$ (A₂, B₂):
пары морфизмов $\text{[math]}$ (f, g), где $\text{[math]}$ f : A₁ → A₂ — морфизм в $\text{[math]}$ C и $\text{[math]}$ g : B₁ → B₂ — в $\text{[math]}$ D;
правила композиций морфизмов:
$\text{[math]}$ (f₂, g₂) o (f₁, g₁) = (f₂ o f₁, g₂ o g₁);
тождественные морфизмы:
$\text{[math]}$ 1_{(A, B)} = (1_A, 1_B).

Так же как и для множеств, определение тривиальным образом обобщается на произведение $\text{[math]}$ n категорий. Операция произведения коммутативна и ассоциативна, с точностью до изоморфизма.

Связь с другими категорными концепциямиПравить

Функтор, область определения которого — категория произведения, называется бифунктором. Один из наиболее важных функторов такого типа — функтор Hom.

ЛитератураПравить

Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.