Двойственное пространство

Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.

ОпределениеПравить

Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве $E$$E$ , также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к $E$$E$ , оно обычно обозначается $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$ . Множество всех линейных функционалов на $E$$E$ , не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к $E$$E$ , оно обычно обозначается $E^{\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}}$$E^{\#}$  .

В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство $E$$E$  конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}=E^{\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}}$$E^{*}=E^{\#}$  состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на $E$$E$ . В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда $E$$E$  бесконечномерное, вообще говоря, $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->E^{\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}}$$E^{*}\neq E^{\#}$ .

В тензорном исчислении применяется обозначение $x^k$$x^{k}$  для элементов $E$$E$  (верхний, или контравариантный, индекс) и $x_k$$x_k$  для элементов $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$  (нижний, или ковариантный, индекс).

Двойственные отображенияПравить

Двойственное отображение — линейное отображение между векторными пространствами, двойственными к данным, индуцированное отображением между самими пространствами.

Пусть $V,W$$V,W$  — векторные пространства, а $V^{\ast <!--\; \ast \; -->},W^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$V^{*},W^{*}$  — двойственные векторные пространства. Для любого линейного отображения $f:V\to <!--\; \to \; -->W$$f:V\to W$  двойственное отображение $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}:W^{\ast <!--\; \ast \; -->}\to <!--\; \to \; -->V^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$f^{*}:W^{*}\to V^{*}$  (в обратном порядке) определяется как

$f^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->f$$f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,$ 

для любого $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->W^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\varphi \in W^{*}$ .

СвойстваПравить

Конечномерные пространстваПравить

• Сопряжённое пространство $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$  имеет ту же размерность, что и пространство $E$$E$  над полем $F$$F$ . Следовательно, пространства $E$$E$  и $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$  изоморфны.
• Каждому базису $e^1,\dots <!--\; \dots \; -->,e^n$$e^{1},\ldots ,e^{n}$  пространства $E$$E$  можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис $e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n$$e_{1},\ldots ,e_{n}$  пространства $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$ , где функционал $e_i$$e_{i}$  — проектор на вектор $e^i$$e^{i}$ :

  $e_i(x)=e_i({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1{e}^1+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n{e}^n)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->E.$$e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i},\quad \forall x\in E.$ 

• Если пространство $E$$E$  евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между $E$$E$  и $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$  существует так называемый канонический изоморфизм (то есть изоморфизм, не зависящий от выбранных базисов), определённый соотношением

  $v\in <!--\; \in \; -->E\mapsto <!--\; \mapsto \; -->f\in <!--\; \in \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->},f(x)=⟨<!--\; ⟨\; -->x,v⟩<!--\; ⟩\; -->,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->E.$$v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\ \forall x\in E.$ 

• Второе сопряжённое пространство $E^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{{**}}$  изоморфно $E$$E$ . Более того, существует канонический изоморфизм между $E$$E$  и $E^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{{**}}$  (при этом не предполагается, что пространство $E$$E$  евклидово), определённый соотношением

  $x\in <!--\; \in \; -->E\mapsto <!--\; \mapsto \; -->z\in <!--\; \in \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->},z(f)=f(x),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}f\in <!--\; \in \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->}.$$x\in E\mapsto z\in E^{**},\quad z(f)=f(x),\ \forall f\in E^{*}.$ 

• Определенный выше канонический изоморфизм $E\to <!--\; \to \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->}$$E\to E^{**}$  показывает, что пространства $E$$E$  и $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$  играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для $x\in <!--\; \in \; -->E,f\in <!--\; \in \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$x\in E,\ f\in E^{*}$  часто пишут $f(x)=(x,f)$$f(x)=(x,f)$  подобно записи скалярного произведения.

Бесконечномерные пространстваПравить

• Если векторное пространство $E$$E$  нормированное, то сопряжённое пространство $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$  имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$  — банахово.

• Если пространство $E$$E$  гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между $E$$E$  и $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$ , причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства $E$$E$ .

• Сопряжённым к пространству $L^p$$L^{p}$ , $1<p<\infty$ , является пространство $L^q$$L^{q}$ , где $1/p+1/q=1$$1/p+1/q=1$ . Аналогично, сопряжённым к $l^p$$l^{p}$ , $1<p<\infty$ , является $l^q$$l^{q}$  с тем же соотношением между p и q.

Вариации и обобщенияПравить

• Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для векторных пространств над полем комплексных чисел: пространство $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{E}$$\bar E$ , совпадающее с $E$$E$  как вещественное векторное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:

  $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{c}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{cx}$${{\bar c}}{{\bar x}}=\overline {cx}$ 

• При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.

См. такжеПравить

• Ковариантность и контравариантность
• Рефлексивное пространство