Дифференциал (дифференциальная геометрия)

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

ОбозначенияПравить

Обычно дифференциал $f$$f$  обозначается $df$$df$ . Некоторые авторы предпочитают обозначать $\mathrm{d}<!--\; \; -->f$$\operatorname {d} f$  шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке $x$$x$  обозначается $d_{x}f$$d_{x}f$ , а иногда $d{f}_x$$df_{x}$  или $df[x]$$df[x]$ . ($d_{x}f$$d_{x}f$  есть линейная функция на касательном пространстве в точке $x$$x$ .)

Если $v$$v$  есть касательный вектор в точке $x$$x$ , то значение дифференциала на $v$$v$  обычно обозначается $df(v)$$df(v)$ , в этом обозначении $x$$x$  излишне, но обозначения $d_{x}f(v)$$d_{x}f(v)$ , $d{f}_x(v)$$df_{x}(v)$  и $df[x](v)$$df[x](v)$  также правомерны.

Используется так же обозначение $f_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$f_{*}$ ; последнее связано с тем, что дифференциал $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->N$$f\colon M\to N$  является естественным поднятием $f$$f$  на касательные расслоения к многообразиям $M$$M$  и $N$$N$ .

ОпределенияПравить

Для вещественнозначных функцийПравить

Пусть $M$$M$  — гладкое многообразие и $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon M\to \mathbb {R}$  гладкая функция. Дифференциал $f$$f$  представляет собой 1-форму на $M$$M$ , обычно обозначается $df$$df$  и определяется соотношением

$df(X)=d_{p}f(X)=Xf,$$df(X)=d_{p}f(X)=Xf,$ 

где $Xf$$Xf$  обозначает производную $f$$f$  по направлению касательного вектора $X$$X$  в точке $p\in <!--\; \in \; -->M$$p\in M$ .

Для отображений гладких многообразийПравить

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие $F:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->N$$F\colon M\to N$  есть отображение между их касательными расслоениями, $dF:<!--\; :\; -->TM\to <!--\; \to \; -->TN$$dF\colon TM\to TN$ , такое что для любой гладкой функции $g:<!--\; :\; -->N\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$g\colon N\to \mathbb {R}$  имеем

$[dF(X)]g=X(g\circ <!--\; \circ \; -->F),$$[dF(X)]g=X(g\circ F),$ 

где $Xf$$Xf$  обозначает производную $f$$f$  по направлению $X$$X$ . (В левой части равенства берётся производная в $N$$N$  функции $g$$g$  по $dF(X)$$dF(X)$ ; в правой — в $M$$M$  функции $g\circ <!--\; \circ \; -->F$$g\circ F$  по $X$$X$ ).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

Связанные определенияПравить

• Точка $x$$x$  многообразия $M$$M$  называется критической точкой отображения $f:M\to <!--\; \to \; -->N$$f:M\to N$ , если дифференциал $d_{x}f:T_{x}M\to <!--\; \to \; -->T_{f(x)}N$$d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N$  не является сюръективным (см. также теорема Сарда)
  • Например, критические точки функций $\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\mathbb {R} \to \mathbb {R}$  — в точности стационарные точки. Для функций $\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\mathbb {R} \to \mathbb {R}$  это точки, в которых матрица дифференциала вырождается.
  • В этом случае $f(x)$$f(x)$  называется критическим значением $f$$f$ .
  • Точка $y\in <!--\; \in \; -->N$$y\in N$  называется регулярной, если она не является критической.
• Гладкое отображение $F:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->N$$F\colon M\to N$  называется субмерсией, если для любой точки $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$ , дифференциал $d_{x}F:<!--\; :\; -->T_{x}M\to <!--\; \to \; -->T_{F(x)}N$$d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N$  сюръективен.
• Гладкое отображение $F:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->N$$F\colon M\to N$  называется гладким погружением, если для любой точки $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$ , дифференциал $d_{x}F:<!--\; :\; -->T_{x}M\to <!--\; \to \; -->T_{F(x)}N$$d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N$  инъективен.

СвойстваПравить

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  $d(F\circ <!--\; \circ \; -->G)=dF\circ <!--\; \circ \; -->dG$$d(F\circ G)=dF\circ dG$  или $d_x(F\circ <!--\; \circ \; -->G)=d_{G(x)}F\circ <!--\; \circ \; -->d_{x}G$$d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G$ 

ПримерыПравить

• Пусть в открытом множестве $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$\Omega \subset \mathbb {R}$  задана гладкая функция $f:<!--\; :\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ . Тогда $df=f^{\prime }dx$$df=f'\,dx$ , где $f^{\prime }$$f'$  обозначает производную $f$$f$ , а $dx$$dx$  является постоянной формой, определяемой $dx(V)=V$$dx(V)=V$ .
• Пусть в открытом множестве $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$\Omega \subset \mathbb{R} ^{n}$  задана гладкая функция $f:<!--\; :\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ . Тогда $df=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}d{x}_i$$df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}$ . Форма $d{x}_i$$dx_i$  может быть определена соотношением $d{x}_i(V)=v_i$$dx_{i}(V)=v_{i}$ , для вектора $V=(v_1,v_2,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n)$$V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})$ .
• Пусть в открытом множестве $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$\Omega \subset \mathbb{R} ^{n}$  задано гладкое отображение $F:<!--\; :\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m$$F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ . Тогда

  $d_{x}F(v)=J(x)v,$$d_{x}F(v)=J(x)v,$ 

где $J(x)$$J(x)$  есть матрица Якоби отображения $F$$F$  в точке $x$$x$ .

См. такжеПравить

• Кодифференциал