Открытое множество

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Евклидово пространствоПравить

Пусть $U\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$U\subset {\mathbb {R}}^{n}$  есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда $U$$U$  называется открытым, если $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{x}_0\in <!--\; \in \; -->U\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0,$$\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,$  такое что $V_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(x_0)\subset <!--\; \subset \; -->U$$V_{{\varepsilon }}(x_{0})\subset U$ , где $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\equiv \left\{x\in {\mathbb {R}}^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \right\}$  — ε-окрестность точки $x_0.$$x_{0}.$ 

Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, интервал $(a,b)$$(a,b)$  как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок $[a,b]$$[a,b]$  или полуинтервал $[a,b)$$[a,b)$  не являются открытыми, так как точка $a$$a$  принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.

Метрическое пространствоПравить

Пусть $(X,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})$$(X,\rho )$  — некоторое метрическое пространство, и $U\subset <!--\; \subset \; -->X$$U\subset X$ . Тогда $U$$U$  называется открытым, если $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{x}_0\in <!--\; \in \; -->U\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0,$$\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,$  такое что $V_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(x_0)\subset <!--\; \subset \; -->U$$V_{{\varepsilon }}(x_{0})\subset U$ , где $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\equiv \{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<\varepsilon \}$  — ε-окрестность точки $x_0$$x_{0}$  относительно метрики $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ . Другими словами, множество $U$$U$  в метрическом пространстве $(X,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})$$(X,\rho )$  называется открытым множеством, если каждая точка $x_0$$x_{{0}}$  множества $U$$U$  входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке $x_0$$x_{{0}}$ .

Топологическое пространствоПравить

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$$(X,{\mathcal {T}})$  по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$  — «топологию», определённую на $X$$X$ . Подмножество $U\subset <!--\; \subset \; -->X$$U\subset X$ , такое, что оно является элементом топологии (то есть $U\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T}$$U\in {\mathcal {T}}$ ), называется открытым множеством относительно топологии $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$ .

Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество $G$$G$   содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества $G$$G$  .

ИсторияПравить

Открытые множества были введены Рене-Луи Бэром в 1899 году.

См. такжеПравить

• Замкнутое множество
• Граница подмножества