Тригонометрические константы

В данной статье приведены точные алгебраические выражения для некоторых тригонометрических чисел. Такие выражения могут потребоваться, например, для приведения результатов выражений с тригонометрическими функциями в радикальную форму, что даёт возможность для дальнейшего упрощения.

Синусы и косинусы основных углов на тригонометрической окружности.

Любое тригонометрическое число алгебраично. Некоторые тригонометрические числа могут быть выражены в комплексных радикалах, однако не всегда в действительных: в частности, среди значений тригонометрических функций в углах, выражающихся целым числом градусов, в действительных радикалах могут быть выражены только значения в тех из них, количество градусов в которых кратно трём. Но по теореме Абеля бывают и те, которые неразрешимы в радикалах.

По теореме Нивена^[en] у синуса с рациональным в градусах аргументом значение либо иррационально, либо равно одному из чисел среди $0$$0$, $\frac{1}{2}$${\frac {1}{2}}$, $1$$1$, $-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$, $-<!--\; -\; -->1$$-1$.

По теореме Бейкера^[en] если синус, косинус или тангенс в данной точке дают алгебраическое число, то их аргумент в градусах либо рационален, либо трансцендентен. Иначе говоря, если аргумент в градусах алгебраичен и иррационален, то значения всех тригонометрических функций от этого аргумента будут трансцендентны.

Критерии включенияПравить

Значения для тригонометрических функций от аргумента, соизмеримого с $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ , выразимы в действительных радикалах, только если знаменатель сокращённой рациональной дроби, полученной делением его на $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ , является степенью двойки, умноженной на произведение нескольких простых чисел Ферма (см. теорема Гаусса — Ванцеля). Данная страница посвящена преимущественно углам, выражающимся в действительных радикалах.

При помощи формулы половинного угла можно получать алгебраические выражения для значений тригонометрических функций в любом угле, для которого они уже найдены, делённом пополам. В частности, для углов, лежащих на промежутке от $0$$0$  до $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$${\frac {\pi }{2}}$ , верны формулы

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}=\sqrt{\frac{1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\sin {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}$ , $\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\cos {\alpha \over 2}={\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}$  и $\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}=\sqrt{\frac{1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$$\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}$ .

Выражения ниже позволяют также получать выражения в комплексных радикалах значений тригонометрических функций в тех углах, в которых они не выражаются в действительных. К примеру, при наличии формулы для угла $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  формула для $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ 3 может быть получена путём решения следующего уравнения третьей степени:

$4{\cos }^3<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{3}-<!--\; -\; -->3\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{3}=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$$4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=\cos \theta ,$ 

Однако в его решении в общем виде могут возникнуть комплексные невещественные числа (этот случай называется casus irreducibilis).

Таблица некоторых часто встречающихся угловПравить

Встречаются различные единицы измерения углов, например, градусы, радианы, обороты, грады (гоны).

$1\text{полный оборот}={360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})=400(\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}).$$1\,{\text{полный оборот}}=360^{\circ }=2\pi (\mathrm {rad} )=400(\mathrm {gon} ).$ 

Эта таблица показывает переводы из одних мер в другие и значения тригонометрических функций от наиболее часто встречающихся углов:

Обороты	Градусы	Радианы	Грады (гоны)	Синус	Косинус	Тангенс
0	0°	0	0	0	1	0
112	30°	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 6	331	12	√32	√33
18	45°	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 4	50	√22	√22	1
16	60°	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 3	662	√32	12	√3
14	90°	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 2	100	1	0
13	120°	2$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 3	1331	√32	−12	−√3
38	135°	3$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 4	150	√22	−√22	−1
512	150°	5$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 6	1662	12	−√32	−√33
12	180°	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$	200	0	−1	0
712	210°	7$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 6	2331	−12	−√32	√33
58	225°	5$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 4	250	−√22	−√22	1
23	240°	4$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 3	2662	−√32	−12	√3
34	270°	3$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 2	300	−1	0
56	300°	5$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 3	3331	−√32	12	−√3
78	315°	7$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 4	350	−√22	√22	−1
1112	330°	11$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 6	3662	−12	√32	−√33
1	360°	2$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$	400	0	1	0

Дальнейшие углыПравить

 

Exact trigonometric table for multiples of 3 degrees.

Значения тригонометрических функций в углах, не находящихся в промежутке от $0^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$0^{\circ }$  до ${45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$45^{\circ }$ , элементарно выводятся из значений в углах этого промежутка при помощи формул приведения. Все углы записаны в градусах и радианах, при этом число, обратное множителю, стоящему перед $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  в выражении для данного угла, является единственным числом символа Шлефли правильного (возможно, звёздчатого) многоугольника с внешним углом, равным данному.

0° = 0 (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->0=0$$\sin 0=0\,$ 

$\cos <!--\; \; -->0=1$$\cos 0=1\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->0=0$$\operatorname {tg} 0=0\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->0=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\operatorname {ctg} 0=\infty \,$ 

1,5°=(1/120)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{120}\right)=\sin <!--\; \; -->\left({1.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}\right)-<!--\; -\; -->\left(\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{30-<!--\; -\; -->6\sqrt{5}}+\sqrt{5}+1\right)}{16}$$\sin \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sin \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)}{16}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{120}\right)=\cos <!--\; \; -->\left({1.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{30-<!--\; -\; -->6\sqrt{5}}+\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}\right)}{16}$$\cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{16}}$ 

1,875°=(1/96)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{96}\right)=\sin <!--\; \; -->\left({1.875}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$$\sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{96}\right)=\cos <!--\; \; -->\left({1.875}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$$\cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}$ 

2,25°=(1/80)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{80}\right)=\sin <!--\; \; -->\left({2.25}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}}$$\sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{80}\right)=\cos <!--\; \; -->\left({2.25}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}}$$\cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}$ 

2,8125°=(1/64)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{64}\right)=\sin <!--\; \; -->\left({2.8125}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$$\sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{64}\right)=\cos <!--\; \; -->\left({2.8125}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$$\cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}$ 

3°=(1/60)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}\right)=\sin <!--\; \; -->\left(3^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{2\left(1-<!--\; -\; -->\sqrt{3}\right)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\left(\sqrt{10}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{16}$$\sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)}{16}}\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}\right)=\cos <!--\; \; -->\left(3^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{2\left(1+\sqrt{3}\right)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\left(\sqrt{10}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-<!--\; -\; -->1\right)}{16}$$\cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)}{16}}\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}\right)=\mathrm{tg}<!--\; \; -->\left(3^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{\left[\left(2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)-<!--\; -\; -->2\right]\left[2-<!--\; -\; -->\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}\right]}{4}$$\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}\right)=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\left(3^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{\left[\left(2+\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)-<!--\; -\; -->2\right]\left[2+\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}\right]}{4}$$\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,$ 

3,75°=(1/48)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{48}\right)=\sin <!--\; \; -->\left({3.75}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$$\sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{48}\right)=\cos <!--\; \; -->\left({3.75}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$$\cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}$ 

4,5°=(1/40)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{40}\right)=\sin <!--\; \; -->\left({4.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}$$\sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{40}\right)=\cos <!--\; \; -->\left({4.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}$$\cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}$ 

5,625°=(1/32)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{32}\right)=\sin <!--\; \; -->\left({5.625}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$$\sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{32}\right)=\cos <!--\; \; -->\left({5.625}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$$\cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}$ 

6°=(1/30)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{30}=\sin <!--\; \; -->6^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{30-<!--\; -\; -->\sqrt{180}}-<!--\; -\; -->\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1}{8}$$\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{30}=\cos <!--\; \; -->6^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{10-<!--\; -\; -->\sqrt{20}}+\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$$\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{8}}\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{30}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->6^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{10-<!--\; -\; -->\sqrt{20}}+\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{15}}{2}$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{30}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->6^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{27}+\sqrt{15}+\sqrt{50+\sqrt{2420}}}{2}$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {27}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,$ 

7,5°=(1/24)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{24}\right)=\sin <!--\; \; -->\left({7.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{1}{4}\sqrt{8-<!--\; -\; -->2\sqrt{6}-<!--\; -\; -->2\sqrt{2}}$$\sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\sqrt {2}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{24}\right)=\cos <!--\; \; -->\left({7.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{1}{4}\sqrt{8+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}$$\cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {2}}}}$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{24}\right)=\mathrm{tg}<!--\; \; -->\left({7.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\sqrt{6}-<!--\; -\; -->\sqrt{3}+\sqrt{2}-<!--\; -\; -->2=\left(\sqrt{2}-<!--\; -\; -->1\right)\left(\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}\right)$$\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {tg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{24}\right)=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\left({7.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$$\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {ctg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)$ 

9°=(1/20)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{20}=\sin <!--\; \; -->9^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}$$\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{20}=\cos <!--\; \; -->9^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}$$\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{20}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->9^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{5}+1-<!--\; -\; -->\sqrt{5+2\sqrt{5}}$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{20}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->9^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$ 

11,25°=(1/16)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{16}=\sin <!--\; \; -->{11.25}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2}}}$$\sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{16}=\cos <!--\; \; -->{11.25}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$$\cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{16}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{11.25}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}-<!--\; -\; -->1$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {tg} 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{16}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{11.25}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {ctg} 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2}}+1$ 

12°=(1/15)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}=\sin <!--\; \; -->{12}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{8}\left[\sqrt{2\left(5+\sqrt{5}\right)}+\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{15}\right]$$\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}=\cos <!--\; \; -->{12}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{8}\left[\sqrt{6\left(5+\sqrt{5}\right)}+\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1\right]$$\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{12}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\left[3\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{15}-<!--\; -\; -->\sqrt{2\left(25-<!--\; -\; -->11\sqrt{5}\right)}\right]$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{12}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\left[\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{2\left(5+\sqrt{5}\right)}\right]$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$ 

15°=(1/12)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}=\sin <!--\; \; -->{15}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}}$$\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}=\cos <!--\; \; -->{15}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$$\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{15}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {tg} 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{15}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=2+\sqrt{3}$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,$ 

18°=(1/10)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{10}=\sin <!--\; \; -->{18}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1\right)$$\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{10}=\cos <!--\; \; -->{18}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(5+\sqrt{5}\right)}$$\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{10}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{18}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{5}\sqrt{5\left(5-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}\right)}$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {tg} 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{10}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{18}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$ 

21°=(7/60)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\sin <!--\; \; -->{21}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{16}\left(2\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}}-<!--\; -\; -->\left(\sqrt{6}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)\right)$$\sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\cos <!--\; \; -->{21}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{16}\left(2\left(\sqrt{3}-<!--\; -\; -->1\right)\sqrt{5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}}+\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)\right)$$\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{21}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left(2-<!--\; -\; -->\left(2+\sqrt{3}\right)\left(3-<!--\; -\; -->\sqrt{5}\right)\right)\left(2-<!--\; -\; -->\sqrt{2\left(5+\sqrt{5}\right)}\right)$$\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{21}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left(2-<!--\; -\; -->\left(2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}\right)\left(3-<!--\; -\; -->\sqrt{5}\right)\right)\left(2+\sqrt{2\left(5+\sqrt{5}\right)}\right)$$\operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,$ 

22,5°=(1/8)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}=\sin <!--\; \; -->{22.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2}},$$\sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}=\cos <!--\; \; -->{22.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$$\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{22.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{2}-<!--\; -\; -->1$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {tg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{22.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{2}+1={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_S$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,$ , серебряное сечение

24°=(2/15)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}=\sin <!--\; \; -->{24}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{8}\left[\sqrt{15}+\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{2\left(5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}\right)}\right]$$\sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}=\cos <!--\; \; -->{24}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{8}\left(\sqrt{6\left(5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}\right)}+\sqrt{5}+1\right)$$\cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{24}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\left[\sqrt{50+22\sqrt{5}}-<!--\; -\; -->3\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{15}\right]$$\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{24}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\left[\sqrt{15}-<!--\; -\; -->\sqrt{3}+\sqrt{2\left(5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}\right)}\right]$$\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,$ 

27°=(3/20)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{20}=\sin <!--\; \; -->{27}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt{5}}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1\right)\right]$$\sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{20}=\cos <!--\; \; -->{27}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1\right)\right]$$\cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{20}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{27}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\sqrt{5-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}$$\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{20}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{27}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1+\sqrt{5-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}$$\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$ 

30°=(1/6)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}=\sin <!--\; \; -->{30}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}$$\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}=\cos <!--\; \; -->{30}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{30}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {tg} 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{30}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{3}$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {ctg} 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,$ 

33°=(11/60)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{11\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\sin <!--\; \; -->{33}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{16}\left[2\left(\sqrt{3}-<!--\; -\; -->1\right)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}\left(1+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1\right)\right]$$\sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{11\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\cos <!--\; \; -->{33}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{16}\left[2\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}\left(1-<!--\; -\; -->\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1\right)\right]$$\cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{11\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{33}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left[2-<!--\; -\; -->\left(2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\right]\left[2+\sqrt{2\left(5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}\right)}\right]$$\operatorname {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{11\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{33}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left[2-<!--\; -\; -->\left(2+\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\right]\left[2-<!--\; -\; -->\sqrt{2\left(5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}\right)}\right]$$\operatorname {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$ 

36°=(1/5)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\sin <!--\; \; -->{36}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}$$\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\cos <!--\; \; -->{36}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{2},$$\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}},$  где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — золотое сечение;

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{36}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{5-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {tg} 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{36}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{5}\sqrt{25+10\sqrt{5}}$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$ 

39°=(13/60)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{13\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\sin <!--\; \; -->{39}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{16}\left[2\left(1-<!--\; -\; -->\sqrt{3}\right)\sqrt{5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}}+\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)\right]$$\sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{13\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\cos <!--\; \; -->{39}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{16}\left[2\left(1+\sqrt{3}\right)\sqrt{5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}}+\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-<!--\; -\; -->1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)\right]$$\cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{13\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{39}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left[\left(2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}\right)\left(3-<!--\; -\; -->\sqrt{5}\right)-<!--\; -\; -->2\right]\left[2-<!--\; -\; -->\sqrt{2\left(5+\sqrt{5}\right)}\right]$$\operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{13\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{60}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{39}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left[\left(2+\sqrt{3}\right)\left(3-<!--\; -\; -->\sqrt{5}\right)-<!--\; -\; -->2\right]\left[2+\sqrt{2\left(5+\sqrt{5}\right)}\right]$$\operatorname {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$ 

42°=(7/30)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{30}=\sin <!--\; \; -->{42}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-<!--\; -\; -->\sqrt{5}+1}{8}$$\sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{30}=\cos <!--\; \; -->{42}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{15}-<!--\; -\; -->\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}$$\cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{8}}\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{30}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{42}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}$$\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{30}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{42}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{50-<!--\; -\; -->22\sqrt{5}}+3\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{15}}{2}$$\operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,$ 

45°=(1/4)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}=\sin <!--\; \; -->{45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}=\cos <!--\; \; -->{45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=1$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {tg} 45^{\circ }=1\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=1$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {ctg} 45^{\circ }=1\,$ 

54°=(3/10)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{10}=\sin <!--\; \; -->{54}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{10}=\cos <!--\; \; -->{54}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}}{4}$$\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{10}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{54}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$$\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {tg} 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{10}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{54}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{5-<!--\; -\; -->\sqrt{20}}$$\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 54^{\circ }={\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}\,$ 

60°=(1/3)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}=\sin <!--\; \; -->{60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}=\cos <!--\; \; -->{60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}$$\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{3}$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {tg} 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {ctg} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$ 

67,5°=(3/8)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}=\sin <!--\; \; -->{67.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$$\sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}=\cos <!--\; \; -->{67.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2}}$$\cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{67.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{2}+1$$\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {tg} 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{67.5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{2}-<!--\; -\; -->1$$\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,$ 

72°=(2/5)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\sin <!--\; \; -->{72}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(5+\sqrt{5}\right)}$$\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\cos <!--\; \; -->{72}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1\right)=\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{2},$$\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {\varphi }{2}},$  где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — золотое сечение;

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{72}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$$\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {tg} 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{72}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{5}\sqrt{5\left(5-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}\right)}$$\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,$ 

75°=(5/12)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}=\sin <!--\; \; -->{75}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$$\sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}=\cos <!--\; \; -->{75}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}\right)$$\cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{75}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=2+\sqrt{3}$$\operatorname {tg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {tg} 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{75}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}$$\operatorname {ctg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,$ 

90°=(1/2)π (rad)Править

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}=\sin <!--\; \; -->{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=1$$\sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}=\cos <!--\; \; -->{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=0$$\cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {tg} 90^{\circ }=\infty \,$ 

$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}=\mathrm{ctg}<!--\; \; -->{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=0$$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {ctg} 90^{\circ }=0\,$ 

Список значений тригонометрических функций от аргумента, равного 2π/nПравить

Приведены только формулы, не использующие корней степени больше $5$$5$ . Так как (по теореме Муавра) в множестве комплексных чисел извлечение корня целой степени n приводит к n различным значениям, то для корней 3-й и 5-й степеней от невещественных чисел, появляющихся в этом разделе ниже, следует брать главное значение, равное корню с наибольшей действительной частью: она всегда положительна. Следовательно, суммы корней 3-й или 5-й степени от комплексно сопряжённых чисел, появляющиеся в таблице, тоже положительны. Тангенс приведён в тех случаях, когда его можно записать сильно проще, чем отношение записей синуса и косинуса.

В некоторых случаях ниже используются два числа ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3=\frac{-<!--\; -\; -->1+i\sqrt{3}}{2},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_5=\frac{1}{4}(-<!--\; -\; -->1+\sqrt{5}+i\sqrt{10+2\sqrt{5}})$$\omega _{3}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\omega _{5}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}})$ , обладающие таким свойством, что ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^3={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_5^5=1$$\omega _{3}^{3}=\omega _{5}^{5}=1$ . ${\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)}}&{\frac {1}{12}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)&\\\hline 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(1-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hline 25&{\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}}})&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}})&\end{array}}$ 

ДоказательствоПравить

Одно из общих и наглядных методов вывести формулы для $x=\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{n}+i\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{n}$$x=\cos {\tfrac {2\pi o}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi o}{n}}$  (n и o — целые числа) — это решить уравнение xⁿ = 1, то есть найти комплексные корни из 1. При этом сами косинус и синус равны $\frac{x+1/x}{2}$${\tfrac {x+1/x}{2}}$  и $\frac{x-<!--\; -\; -->1/x}{2i}$${\tfrac {x-1/x}{2i}}$  соответственно. Данный метод обосновывается теоремой Муавра:

если $r>0$$r>0$  — модуль, а $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\alpha \in {\mathbb {R}}$  — аргумент комплексного числа, то все корни целой степени $n\ne <!--\; \ne \; -->0$$n\neq 0$  от $r(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$  выражаются числами $\sqrt[n]{r}[\cos <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{n}+\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{n})+i\sin <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{n}+\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{n})],$${\sqrt[{n}]{r}}[\cos({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})+i\sin({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})],$  где $o$$o$  пробегает множество целых чисел $\mathbb{Z}.$$\mathbb{Z}.$

В свою очередь, эта теорема доказывается утверждением, что при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы — складываются (последнее равносильно тригонометрическим тождествам для суммы):

$[r(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})]\cdot <!--\; \cdot \; -->[s(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})]=(rs)\cdot <!--\; \cdot \; -->[\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+i\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})].$$[r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].$

Среди корней натуральной степени n из 1 есть те, которые не являются корнями никакой другой натуральной степени m < n из 1, — они называются первообразными, или примитивными, корнями n-й степени из 1. А многочлен, в качестве своих корней содержащий только примитивные радикалы из 1, причём с единичной кратностью, называется круговым. Для корней n-й степени из 1 степень кругового многочлена равна φ(n), где φ — функция Эйлера, и обязательно чётна при n ≥ 3, поскольку при n ≥ 3 все первообразные корни (среди которых уже нет ±1) невещественны и образуют комплексно сопряжённые пары.

При n ≥ 2 круговой полином является симметричным, то есть все его коэффициенты отражаются относительно степени φ(n)/2. Если n ≥ 3, то, чтобы решить уравнение с круговым многочленом s_φ(n)(x) = 0 чётной степени φ(n), симметричный полином s_φ(n)(x) надо разделить на x^φ(n)/2, а затем сгруппировать по степеням числа x + 1/x (это возможно из-за симметричности), которое, как совпадение, и оказывается искомым косинусом, умноженным на 2.

Пример 1: n = 3Править

Способ 1 — решение уравнения 2-й степени по общему методуПравить

Полином $x^3-<!--\; -\; -->1$$x^{3}-1$  раскладывается на круговые множители $x-<!--\; -\; -->1$$x-1$  и $x^2+x+1,$$x^{2}+x+1,$  у первого из каких корень равен 1, а второй является полиномом 2-й степени. И в общем случае, чтобы решить квадратное уравнение, надо поделить многочлен на старший коэффициент (здесь он равен 1), а затем выделить точный квадрат так, чтобы избавиться от слагаемого-одночлена той степени, которая меньше степени полинома на 1, — то есть привести многочленное уравнение к каноническому виду:

$x^2+x=-<!--\; -\; -->1,$$x^{2}+x=-1,$ 

$(x+\frac{1}{2}{)}^2=-<!--\; -\; -->\frac{3}{4},$$(x+{\tfrac {1}{2}})^{2}=-{\tfrac {3}{4}},$ 

$(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}=0$$(x+{\tfrac {1}{2}})^{2}+{\tfrac {3}{4}}=0$  (канонический вид).

В итоге в совокупности с уравнением $x-<!--\; -\; -->1=0$$x-1=0$  получается, что

$x=1$$x=1$  или $x=\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{3}i}{2}.$$x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

Способ 2 — сведение уравнения к уравнению 1-й степениПравить

Вместо того, чтобы решать уравнение $x^2+x+1=0$$x^{2}+x+1=0$  как квадратное, симметричный многочлен $x^2+x+1$$x^{2}+x+1$  можно поделить на x, сгруппировать относительно x + 1/x, учитывая, что x + 1/x — это искомый косинус, умноженный на 2:

$(x+\frac{1}{x})+1=0,$$(x+{\tfrac {1}{x}})+1=0,$ 

$x+\frac{1}{x}=-<!--\; -\; -->1,$$x+{\tfrac {1}{x}}=-1,$ 

$x=\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{3}i}{2}.$$x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

Пример 2: n = 5Править

Круговой полином равен $x^4+x^3+x^2+x+1,$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,$  и, чтобы найти его корни, его нужно поделить на x², сгруппировать по степеням x + 1/x (сведя к квадратному полиному) и приравнять 0:

$x^2+x+1+x^{-<!--\; -\; -->1}+x^{-<!--\; -\; -->2}=0,$$x^{2}+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0,$ 

$(x+\frac{1}{x}{)}^2+(x+\frac{1}{x})-<!--\; -\; -->1=0,$$(x+{\tfrac {1}{x}})^{2}+(x+{\tfrac {1}{x}})-1=0,$ 

$x+\frac{1}{x}=\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{5}}{2}$$x+{\tfrac {1}{x}}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$  (искомый косинус, умноженный на 2),

$x=\frac{-<!--\; -\; -->1{\pm <!--\; \pm \; -->}_1\sqrt{5}}{4}{\pm <!--\; \pm \; -->}_2\frac{i}{4}\sqrt{10{\pm <!--\; \pm \; -->}_{1}2\sqrt{5}}.$$x={\frac {-1\pm _{1}{\sqrt {5}}}{4}}\pm _{2}{\frac {i}{4}}{\sqrt {10\pm _{1}2{\sqrt {5}}}}.$

Пример 3: n = 7Править

Условные обозначения. Обозначим $\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}+i\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}$$\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$  как ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n.$$\omega _{n}.$ 

Шаг 1 — приведение уравнения к канонической формеПравить

Проведя с круговым многочленом $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$  преобразования, аналогичные каким представлены для n = 5, получаем уравнение 3-й степени $(x+\frac{1}{x}{)}^3+(x+\frac{1}{x}{)}^2-<!--\; -\; -->2(x+\frac{1}{x})-<!--\; -\; -->1=0.$$(x+{\tfrac {1}{x}})^{3}+(x+{\tfrac {1}{x}})^{2}-2(x+{\tfrac {1}{x}})-1=0.$  Далее, как и в случае с квадратным уравнением, это уравнение нужно привести к каноническому виду, то есть поделить обе части уравнения на старший коэффициент (единицу) и затем выделить точный куб, избавившись от слагаемого той степени, которая меньше степени многочлена на 1:

$(x+\frac{1}{x}{)}^3+(x+\frac{1}{x}{)}^2=2(x+\frac{1}{x})+1,$$(x+{\tfrac {1}{x}})^{3}+(x+{\tfrac {1}{x}})^{2}=2(x+{\tfrac {1}{x}})+1,$ 

$[(x+\frac{1}{x})+\frac{1}{3}{]}^3=\frac{7}{3}[(x+\frac{1}{x})+\frac{1}{3}]+\frac{7}{27},$$[(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}},$ 

$(x+\frac{1}{3}+\frac{1}{x}{)}^3-<!--\; -\; -->\frac{7}{3}(x+\frac{1}{3}+\frac{1}{x})-<!--\; -\; -->\frac{7}{27}=0$$(x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})^{3}-{\tfrac {7}{3}}(x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})-{\tfrac {7}{27}}=0$  (каноническая форма).

Шаг 2 — метод дель ФерроПравить

Метод решения канонических кубических уравнений вошёл в историю под именем Джероламо Кардано, но впервые был открыт Сципионом дель Ферро. Он заключается в следующем: заменим искомую переменную ($x+\frac{1}{3}+x^{-<!--\; -\; -->1}$$x+{\tfrac {1}{3}}+x^{-1}$ ) на сумму $v+w$$v+w$ :

$(v^3+3v^{2}w+3v{w}^2+w^3)-<!--\; -\; -->\frac{7}{3}(v+w)-<!--\; -\; -->\frac{7}{27}=0,$$(v^{3}+3v^{2}w+3vw^{2}+w^{3})-{\tfrac {7}{3}}(v+w)-{\tfrac {7}{27}}=0,$ 

а затем зададим между v и w такую зависимость, чтобы уравнение можно было свести к менее чем 3-й степени. Тогда оказывается, что в числе $3v^{2}w+3v{w}^2-<!--\; -\; -->\frac{7}{3}(v+w)=(3vw-<!--\; -\; -->\frac{7}{3})(v+w)$$3v^{2}w+3vw^{2}-{\tfrac {7}{3}}(v+w)=(3vw-{\tfrac {7}{3}})(v+w)$  множитель $3vw-<!--\; -\; -->\frac{7}{3}$$3vw-{\tfrac {7}{3}}$  надо приравнять нулю. В таком случае $w=\frac{7}{9v}$$w={\tfrac {7}{9v}}$  и $\frac{1}{2}(x+x^{-<!--\; -\; -->1})=\frac{1}{2}(\frac{-<!--\; -\; -->1}{3}+v+w)=\frac{1}{2}(\frac{-<!--\; -\; -->1}{3}+v+\frac{7}{9v})$${\tfrac {1}{2}}(x+x^{-1})={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+w)={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+{\tfrac {7}{9v}})$  (сам косинус), а само кубическое уравнение сокращается до квадратного:

$v^3-<!--\; -\; -->\frac{7}{3^3}+\frac{7^3}{3^6}{v}^{-<!--\; -\; -->3}=0,$$v^{3}-{\tfrac {7}{3^{3}}}+{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}v^{-3}=0,$ 

$v^3=\frac{7}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->3^3}\pm <!--\; \pm \; -->i\sqrt{\frac{7^3}{3^6}-<!--\; -\; -->\frac{7^2}{2^2{3}^6}}=\frac{7\pm <!--\; \pm \; -->7i\sqrt{2^{2}7-<!--\; -\; -->1}}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->3^3}=\frac{7\pm <!--\; \pm \; -->21i\sqrt{3}}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->3^3},$$v^{3}={\tfrac {7}{2\cdot 3^{3}}}\pm i{\sqrt {{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}-{\tfrac {7^{2}}{2^{2}3^{6}}}}}={\tfrac {7\pm 7i{\sqrt {2^{2}7-1}}}{2\cdot 3^{3}}}={\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2\cdot 3^{3}}},$ 

а с учётом главных значений кубических корней получается:

$v=\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^m}{3}\sqrt[3]{\frac{7\pm <!--\; \pm \; -->21i\sqrt{3}}{2}},\frac{7}{9v}=\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^{-<!--\; -\; -->m}}{3}\sqrt[3]{\frac{7\mp <!--\; \mp \; -->21i\sqrt{3}}{2}},$$v={\tfrac {\omega _{3}^{m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2}}},{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\sqrt {3}}}{2}}},$  где $m\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z},$$m\in \mathbb {Z} ,$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{7}=\frac{1}{6}\left(-<!--\; -\; -->1+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^{-<!--\; -\; -->m}\sqrt[3]{\frac{7+21i\sqrt{3}}{2}}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^m\sqrt[3]{\frac{7-<!--\; -\; -->21i\sqrt{3}}{2}}\right),$$\cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right),$

где o = 1 (o = 6) соответствует m = 0, o = 2 (o = 5) — m = 1, а o = 3 (o = 4) — m = 2.

Шаг 3 — синусПравить

Синус лучше всего искать не по основному тригонометрическому тождеству, а по формуле половинного угла $\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{7}=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\cos <!--\; \; -->\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{7}},$$\sin {\tfrac {2\pi o}{7}}=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos {\tfrac {4\pi o}{7}}}},$  иначе появятся квадраты чисел $\sqrt[3]{\frac{1}{2}(7\pm <!--\; \pm \; -->21i\sqrt{3})},$${\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(7\pm 21i{\sqrt {3}})}},$  и упрощение станет неочевидное. В итоге все примитивные корни 7-й степени из 1 равны

$\frac{1}{6}\left[-<!--\; -\; -->1+w+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{w}\pm <!--\; \pm \; -->i\sqrt{3\left(7-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3}w-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{w}\right)}\right],$${\frac {1}{6}}\left[-1+w+{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}w-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

где $2w^3=7+21i\sqrt{3}.$$2w^{3}=7+21i{\sqrt {3}}.$ 

Пример 4: n = 3² = 9Править

Условное обозначение. Обозначим $\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}+i\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}$$\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$  как ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n.$$\omega _{n}.$ 

Число 9 раскладывается на простые множители как 3², так что многочлен $x^9-<!--\; -\; -->1$$x^{9}-1$  можно разложить на круговые множители как $(x-<!--\; -\; -->1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1).$$(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{6}+x^{3}+1).$  Корни последнего из них представляют собой корни 3-й степени из чисел (корней многочлена $x^2+x+1$$x^{2}+x+1$ ), которые, в свою очередь, являются первообразными корнями 3-й степени из 1, то есть первообразные корни 9-й степени из 1 равны

$x={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^m\sqrt[3]{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^{\pm <!--\; \pm \; -->1}},$$x=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}},$  где $m\in <!--\; \in \; -->\{0,1,2\}.$$m\in \{0,1,2\}.$

Тогда (с учётом главных значений кубических корней) «первообразные» косинусы и синусы выражаются как

$\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^m\sqrt[3]{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^{\pm <!--\; \pm \; -->1}}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^{-<!--\; -\; -->m}\sqrt[3]{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^{\mp <!--\; \mp \; -->1}}\right),$${\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}\right),$

$\frac{1}{2i}\left(x-<!--\; -\; -->\frac{1}{x}\right)=\frac{i}{2}\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^{-<!--\; -\; -->m}\sqrt[3]{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^{\mp <!--\; \mp \; -->1}}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^m\sqrt[3]{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3^{\pm <!--\; \pm \; -->1}}\right),$${\frac {1}{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {i}{2}}\left(\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}\right),$

Пример 5: n = 2 · 7 = 14Править

Условное обозначение: ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n:=\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}+i\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}.$$\omega _{n}:=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.$ 

У полинома $x^{14}-<!--\; -\; -->1=(x^7-<!--\; -\; -->1)(x^7+1)$$x^{14}-1=(x^{7}-1)(x^{7}+1)$  круговые множители таковы:

• $x-<!--\; -\; -->1$$x-1$  (круговой полином для 1-й степени);
• $x+1$$x+1$  (круговой полином для 2-й степени);
• $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$  (для 7-й степени);
• $x^6-<!--\; -\; -->x^5+x^4-<!--\; -\; -->x^3+x^2-<!--\; -\; -->x+1$$x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$  (для 14-й степени).

Корни полинома $x^6-<!--\; -\; -->x^5+x^4-<!--\; -\; -->x^3+x^2-<!--\; -\; -->x+1$$x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$  точно противоположны корням полинома $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$  (это можно доказать с помощью замены переменной на противоположную ей или по теореме Виета) и, следовательно, выглядят так:

$\frac{1}{6}\left[1-<!--\; -\; -->w-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{w}\pm <!--\; \pm \; -->i\sqrt{3\left(7-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3}y-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{w}\right)}\right],$${\frac {1}{6}}\left[1-w-{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}y-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

где $2w^3=7+21i\sqrt{3}.$$2w^{3}=7+21i{\sqrt {3}}.$ 

Пример 6: n = 3 · 5 = 15Править

Круговой многочлен $x^8-<!--\; -\; -->x^7+x^5-<!--\; -\; -->x^4+x^3-<!--\; -\; -->x+1$$x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1$  не очень прост, и вместо того, чтобы искать его корни, лучше разложить угол $\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}$${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$  (o — целое число) как сумму $\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}{o}_1+\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}{o}_2,$${\tfrac {2\pi }{3}}o_{1}+{\tfrac {2\pi }{5}}o_{2},$  где o₁ и o₂ — некоторые целые числа.

Примечание. В отличие от 15, в факторизации числа 9 участвует один и тот же множитель двойной кратности — и в отличие от $\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}$${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$  угол $\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{3^2}$${\tfrac {2\pi o}{3^{2}}}$  не всегда можно разложить в виде $\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{o}_1}{3}+\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{o}_2}{3}$${\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{3}}$  (o, o₁ и o₂ — целые числа).

Разложив угол на сумму углов, можно вычислять косинус и синус:

$\cos <!--\; \; -->(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{o}_1}{3}+\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{o}_2}{5})+i\sin <!--\; \; -->(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{o}_1}{3}+\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{o}_2}{5})=$$\cos({\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})+i\sin({\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$ 

$=(\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{o}_1}{3}+i\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{o}_1}{3})(\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{o}_2}{5}+i\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{o}_2}{5})=$$=(\cos {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}})(\cos {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$ 

$={\left(\frac{-<!--\; -\; -->1+i\sqrt{3}}{2}\right)}^{o_1}{\left[\frac{1}{4}(-<!--\; -\; -->1+\sqrt{5}+i\sqrt{10+2\sqrt{5}})\right]}^{o_2}.$$=\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{o_{1}}\left[{\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}})\right]^{o_{2}}.$ 

Например, если o = 1, то в качестве o₁ и o₂ можно выбрать −1 и 2 соответственно. Тогда

$\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}+i\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}=\frac{1}{8}(-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->i\sqrt{3})(-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\sqrt{5}+i\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}})=$$\cos {\tfrac {2\pi }{15}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{15}}={\tfrac {1}{8}}(-1-i{\sqrt {3}})(-1-{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})=$ 

$=\frac{1}{8}[1+\sqrt{5}+\sqrt{30-<!--\; -\; -->6\sqrt{5}}+i(\sqrt{3}+\sqrt{15}-<!--\; -\; -->\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}})].$$={\tfrac {1}{8}}[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})].$ 

Пример 7: n = 17Править

Шаг 1Править

Поскольку данное число Ферма является простым, то, как и в случае n = 3, n = 5 и n = 7, в первую очередь нужно круговой полином $x^{16}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x+1$$x^{16}+\cdots +x+1$  поделить на x⁸ и заменить на некоторую переменную b = x + 1/x ― получим $b^8+b^7+\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->4b+1.$$b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1.$ 

Условное обозначение. Обозначим корни многочлена $b^8+b^7+\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->4b+1$$b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$  как $b_{o/17}=2\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{17}.$$b_{o/17}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{17}}.$ 

Шаг 2Править

Корни полинома $b^8+b^7+\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->4b+1$$b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$  лучше всего найти не через его коэффициенты, а пользуясь тем, что его корни ― удвоенные косинусы. Для этого нужно некоторым образом распределить все его корни по двум суммам S₁ и S₂, найти S₁ + S₂ и S₁S₂ и по теореме Виета вывести для S₁ и S₂ уравнение, решив которое и получим S₁ и S₂.

Если поточнее, корни полинома $b^8+b^7+\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->4b+1$$b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$  нужно распределять по степеням двойки:

• $S_1=b_{2^0/17}+b_{2^1/17}+b_{2^2/17}+b_{2^3/17}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17};$$S_{1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{1}/17}+b_{2^{2}/17}+b_{2^{3}/17}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17};$ 
• $S_2=b_{3\cdot <!--\; \cdot \; -->2^0/17}+b_{3\cdot <!--\; \cdot \; -->2^1/17}+b_{3\cdot <!--\; \cdot \; -->2^2/17}+b_{3\cdot <!--\; \cdot \; -->2^3/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}.$$S_{2}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}+b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}.$ 

Сумма S₁ + S₂ равна сумме всех корней $b^8+b^7+\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->4b+1,$$b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1,$  а значит, по теореме Виета равна −1, а произведение находится по формуле косинуса произведения $(2\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})(2\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=[2\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})]+[2\cos <!--\; \; -->(\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mp <!--\; \mp \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})]:<!--\; :\; -->$$(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$ 

$(b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17})=$$(b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17})=$ 

$=\underset{\text{16 слагаемых}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{(b_{1/17}{b}_{3/17})+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(b_{8/17}{b}_{7/17})}}=\underset{\text{32 слагаемых, включая внутри скобок}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(b_{15/17}+b_{1/17})}}$$=\underbrace {(b_{1/17}b_{3/17})+\cdots +(b_{8/17}b_{7/17})} _{\text{16 слагаемых}}=\underbrace {(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots +(b_{15/17}+b_{1/17})} _{\text{32 слагаемых, включая внутри скобок}}$  (по формуле косинуса произведения)

$=2\underset{\text{16 слагаемых}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+b_{15/17}+b_{16/17})}}=4(S_1+S_2)=-<!--\; -\; -->4.$$=2\underbrace {(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots +b_{15/17}+b_{16/17})} _{\text{16 слагаемых}}=4(S_{1}+S_{2})=-4.$ 

Тогда получается квадратное уравнение $S^2+S-<!--\; -\; -->4=0$$S^{2}+S-4=0$  с корнями $\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{17}}{2},$${\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$  причём они распределяются так:

• $S_1=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}=\frac{-<!--\; -\; -->1+\sqrt{17}}{2};$$S_{1}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}={\tfrac {-1+{\sqrt {17}}}{2}};$ 
• $S_2=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}=\frac{-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\sqrt{17}}{2}.$$S_{2}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}={\tfrac {-1-{\sqrt {17}}}{2}}.$ 

Шаг 3Править

Слагаемые, заключённые в S₁ и S₂, снова надо распределить пополам по суммам, причём по степеням четвёрки — и образуются четыре числа:

• $T_{1.1}=b_{2^0/17}+b_{2^2/17}=b_{1/17}+b_{4/17};$$T_{1.1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{2}/17}=b_{1/17}+b_{4/17};$ 
• $T_{1.2}=b_{2^1/17}+b_{2^3/17}=b_{2/17}+b_{8/17};$$T_{1.2}=b_{2^{1}/17}+b_{2^{3}/17}=b_{2/17}+b_{8/17};$ 
• $T_{2.1}=b_{3\cdot <!--\; \cdot \; -->2^0/17}+b_{3\cdot <!--\; \cdot \; -->2^2/17}=b_{3/17}+b_{5/17};$$T_{2.1}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}=b_{3/17}+b_{5/17};$ 
• $T_{2.2}=b_{3\cdot <!--\; \cdot \; -->2^1/17}+b_{3\cdot <!--\; \cdot \; -->2^3/17}=b_{6/17}+b_{7/17}.$$T_{2.2}=b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{6/17}+b_{7/17}.$ 

Сумма $T_{m.1}+T_{m.2}$$T_{m.1}+T_{m.2}$  (где m пробегает множество {1, 2}) равна $S_m=\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{17}}{2},$$S_{m}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$  а произведение $T_{m.1}{T}_{m.2}$$T_{m.1}T_{m.2}$  (по той же формуле $\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{1}{2}[\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+\cos <!--\; \; -->(\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mp <!--\; \mp \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})]$$\cos \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\pm \alpha \mp \beta )]$ ) равно −1 (при m = 1 и при m = 2), а значит, здесь по теореме Виета мы получаем квадратное уравнение $T_m^2-<!--\; -\; -->S_m{T}_m-<!--\; -\; -->1=0$$T_{m}^{2}-S_{m}T_{m}-1=0$  для T:

• $T_{1.1}=\frac{1}{4}(-<!--\; -\; -->1+\sqrt{17}+\sqrt{34-<!--\; -\; -->2\sqrt{17}});$$T_{1.1}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$ 
• $T_{1.2}=\frac{1}{4}(-<!--\; -\; -->1+\sqrt{17}-<!--\; -\; -->\sqrt{34-<!--\; -\; -->2\sqrt{17}});$$T_{1.2}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$ 
• $T_{2.1}=\frac{1}{4}(-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}});$$T_{2.1}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}});$ 
• $T_{2.2}=\frac{1}{4}(-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\sqrt{17}-<!--\; -\; -->\sqrt{34+2\sqrt{17}}).$$T_{2.2}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}).$ 

Шаг 4Править

Во 2-м и 3-м этапах мы каждый раз «дробили» суммы пополам. Здесь мы сделаем то же самое и таким образом уже дойдём до самих корней (чисел b_o/17). Суммы равны:

• $b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1.1};$$b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1.1};$ 
• $b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1.2};$$b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1.2};$ 
• $b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1};$$b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1};$ 
• $b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2.2},$$b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2.2},$ 

а соответствующие произведения:

• $b_{1/17}{b}_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1};$$b_{1/17}b_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1};$ 
• $b_{2/17}{b}_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2.2};$$b_{2/17}b_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2.2};$ 
• $b_{3/17}{b}_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1.2};$$b_{3/17}b_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1.2};$ 
• $b_{6/17}{b}_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1.1}.$$b_{6/17}b_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1.1}.$ 

Составив все требуемые квадратные уравнения, получаем искомые косинусы:

• $b_{1/17}/2$$b_{1/17}/2$  или $b_{4/17}/2$$b_{4/17}/2$  — $\frac{1}{16}(16-<!--\; -\; -->N+\sqrt{2N}\pm <!--\; \pm \; -->2\sqrt{2M-<!--\; -\; -->N-<!--\; -\; -->\sqrt{2N}-<!--\; -\; -->2\sqrt{2M}});$${\tfrac {1}{16}}(16-N+{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N-{\sqrt {2N}}-2{\sqrt {2M}}}});$ 
• $b_{2/17}/2$$b_{2/17}/2$  или $b_{8/17}/2$$b_{8/17}/2$  — $\frac{1}{16}(16-<!--\; -\; -->N-<!--\; -\; -->\sqrt{2N}\pm <!--\; \pm \; -->2\sqrt{2M-<!--\; -\; -->N+\sqrt{2N}+2\sqrt{2M}});$${\tfrac {1}{16}}(16-N-{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N+{\sqrt {2N}}+2{\sqrt {2M}}}});$ 
• $b_{3/17}/2,b_{5/17}/2$$b_{3/17}/2,b_{5/17}/2$  — $\frac{1}{16}(16-<!--\; -\; -->M+\sqrt{2M}\pm <!--\; \pm \; -->2\sqrt{2N-<!--\; -\; -->M-<!--\; -\; -->\sqrt{2M}+2\sqrt{2N}});$${\tfrac {1}{16}}(16-M+{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M-{\sqrt {2M}}+2{\sqrt {2N}}}});$ 
• $b_{6/17}/2,b_{7/17}/2$$b_{6/17}/2,b_{7/17}/2$  — $\frac{1}{16}(16-<!--\; -\; -->M-<!--\; -\; -->\sqrt{2M}\pm <!--\; \pm \; -->2\sqrt{2N-<!--\; -\; -->M+\sqrt{2M}-<!--\; -\; -->2\sqrt{2N}});$${\tfrac {1}{16}}(16-M-{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M+{\sqrt {2M}}-2{\sqrt {2N}}}});$ 

где $M=17+\sqrt{17},N=17-<!--\; -\; -->\sqrt{17}$$M=17+{\sqrt {17}},N=17-{\sqrt {17}}$ .

Пример 8: n = 13Править

Нужно круговой полином $x^{12}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x+1$$x^{12}+\cdots +x+1$  поделить на x⁶ и заменить x + 1/x на некоторую переменную b ― получается полином $b^6+b^5-<!--\; -\; -->5b^4-<!--\; -\; -->4b^3+6b^2+3b-<!--\; -\; -->1.$$b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1.$  Между 7-м примером (n = 17) и данным (n = 13) есть некоторые сходства: во-первых, 13 и 17 оба простые числа, а во-вторых, степени многочленов $b^6+b^5-<!--\; -\; -->5b^4-<!--\; -\; -->4b^3+6b^2+3b-<!--\; -\; -->1$$b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$  (который соответствует n = 13) и $b^8+b^7+\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->4b+1$$b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$  (n = 17) являются составными числами — поэтому возникает такое подозрение, что корни полинома $b^6+b^5-<!--\; -\; -->5b^4-<!--\; -\; -->4b^3+6b^2+3b-<!--\; -\; -->1$$b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$  нужно найти по тому же принципу, какой был в 7-м примере: причём здесь нужно сначала вывести и решить квадратное уравнение, а лишь потом — кубическое.

Условное обозначение. Обозначим корни полинома $b^6+b^5-<!--\; -\; -->5b^4-<!--\; -\; -->4b^3+6b^2+3b-<!--\; -\; -->1$$b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$  как $b_{o/13}=2\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}o}{13}.$$b_{o/13}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{13}}.$ 

Шаг 1Править

Распределим все шесть корней указанного полинома по двум суммам S₁, S₂ и по степеням тройки:

• $S_1=x_{3^0/13}+x_{3^1/13}+x_{3^2/13}=x_{1/13}+x_{3/13}+x_{4/13};$$S_{1}=x_{3^{0}/13}+x_{3^{1}/13}+x_{3^{2}/13}=x_{1/13}+x_{3/13}+x_{4/13};$ 
• $S_2=x_{2\cdot <!--\; \cdot \; -->3^0/13}+x_{2\cdot <!--\; \cdot \; -->3^1/13}+x_{2\cdot <!--\; \cdot \; -->3^2/13}=x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13}$$S_{2}=x_{2\cdot 3^{0}/13}+x_{2\cdot 3^{1}/13}+x_{2\cdot 3^{2}/13}=x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13}$ 

и вычислим следующие величины с помощью тождества $(2\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})(2\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=[2\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})]+[2\cos <!--\; \; -->(\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mp <!--\; \mp \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})]:<!--\; :\; -->$$(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$ 

• $S_1+S_2=-<!--\; -\; -->1;$$S_{1}+S_{2}=-1;$ 
• ${\begin{aligned}S_{1}S_{2}&=(b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13})(b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13})\\&=b_{1/13}b_{2/13}+b_{1/13}b_{6/13}+b_{1/13}b_{5/13}\\&+b_{3/13}b_{2/13}+b_{3/13}b_{6/13}+b_{3/13}b_{5/13}\\&+b_{4/13}b_{2/13}+b_{4/13}b_{6/13}+b_{4/13}b_{5/13}\\&=(b_{3/13}+b_{1/13})+(b_{7/13}+b_{5/13})+(b_{6/13}+b_{4/13})\\&+(b_{5/13}+b_{1/13})+(b_{9/13}+b_{3/13})+(b_{8/13}+b_{2/13})\\&+(b_{6/13}+b_{2/13})+(b_{10/13}+b_{2/13})+(b_{9/13}+b_{1/13})\\&=3(b_{1/13}+b_{2/13}+b_{3/13}+b_{4/13}+b_{5/13}+b_{6/13})=3(S_{1}+S_{2})=-3,\\\end{aligned}}$ 

получив уравнение $S^2+S-<!--\; -\; -->3=0$$S^{2}+S-3=0$ , решив которое получаем: $S_1=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=\frac{-<!--\; -\; -->1+\sqrt{13}}{2},$$S_{1}=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}={\tfrac {-1+{\sqrt {13}}}{2}},$  $S_2=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}=\frac{-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\sqrt{13}}{2}.$$S_{2}=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}={\tfrac {-1-{\sqrt {13}}}{2}}.$ 

Шаг 2Править

S₁ и S₂ известны — теперь с помощью них нужно вывести кубические уравнения относительно b. Для демонстрации выберем, например, корни, входящие в сумму S₁. Тогда нужно найти следующие величины:

• $b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_1=\frac{-<!--\; -\; -->1+\sqrt{13}}{2};$$b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_{1}={\tfrac {-1+{\sqrt {13}}}{2}};$ 
• $b_{1/13}{b}_{3/13}+b_{3/13}{b}_{4/13}+b_{4/13}{b}_{1/13}=b_{4/13}+b_{2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}=S_1+S_2=-<!--\; -\; -->1;$$b_{1/13}b_{3/13}+b_{3/13}b_{4/13}+b_{4/13}b_{1/13}=b_{4/13}+b_{2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}=S_{1}+S_{2}=-1;$ 
• $b_{1/13}{b}_{3/13}{b}_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13}^2+b_{2/13}{b}_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_2=\frac{3-<!--\; -\; -->\sqrt{13}}{2},$$b_{1/13}b_{3/13}b_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13}^{2}+b_{2/13}b_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_{2}={\tfrac {3-{\sqrt {13}}}{2}},$ 

чтобы по теореме Виета получить уравнение. Если в совокупности с корнями, входящими в S₁, включить корни, входящие в S₂, — в результате получится уравнение $b^3-<!--\; -\; -->\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{13}}{2}{b}^2-<!--\; -\; -->b+\frac{-<!--\; -\; -->3\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{13}}{2}=0$$b^{3}-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13}}}{2}}b^{2}-b+{\tfrac {-3\pm {\sqrt {13}}}{2}}=0$ .

Шаг 3 — приведение к канонической формеПравить

$(b-<!--\; -\; -->\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{13}}{6}{)}^3+\frac{-<!--\; -\; -->13\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{13}}{6}(b-<!--\; -\; -->\frac{1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{13}}{6})+\frac{-<!--\; -\; -->26\pm <!--\; \pm \; -->5\sqrt{13}}{27}=0$$(b-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13}}}{6}})^{3}+{\tfrac {-13\pm {\sqrt {13}}}{6}}(b-{\tfrac {1\pm {\sqrt {13}}}{6}})+{\tfrac {-26\pm 5{\sqrt {13}}}{27}}=0$  (каноническая форма) $|\cdot <!--\; \cdot \; -->6^3,$$|\cdot 6^{3},$ 

$[6b-<!--\; -\; -->(-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{13}){]}^3+6(-<!--\; -\; -->13\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{13})[6b-<!--\; -\; -->(-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{13})]+8(-<!--\; -\; -->26\pm <!--\; \pm \; -->5\sqrt{13})=0$$[6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]^{3}+6(-13\pm {\sqrt {13}})[6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]+8(-26\pm 5{\sqrt {13}})=0$  (чтобы в ответе знаменатель сразу был вынесен из-под корня).

Шаг 4 — решение канонического уравненияПравить

${\begin{aligned}6b-(-1\pm {\sqrt {13}})&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}-{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\\&+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}+{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\\&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}},\\\end{aligned}}$ 

где m пробегает {0, 1, 2}, а ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n=\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}+i\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}.$$\omega _{n}=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.$ 

ПрочееПравить

Использование для вычисления других константПравить

Например, объём правильного додекаэдра с длиной ребра $a$$a$  может быть задан формулой:

$V=\frac{5a^3\cos <!--\; \; -->{36}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}{{\tan }^2<!--\; \; -->{36}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}.$$V={\frac {5a^{3}\cos 36^{\circ }}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}.$ 

Если использовать выражения

$\cos <!--\; \; -->{36}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\sqrt{5}+1}{4},$$\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}},\,$ 

$\tan <!--\; \; -->{36}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{5-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}},$$\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}},\,$ 

формулу можно упростить до

$V=\frac{a^3\left(15+7\sqrt{5}\right)}{4}.$$V={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}.\,$ 

Вывод через треугольникиПравить

 

Правильный n-угольник и его фундаментальный прямоугольный треугольник. Углы: a = 180°n, b =90(1 − 2n)°

Вывод значений синуса, косинуса и тангенса в радикальную форму базируется на возможности построения при помощи циркуля и линейки правильных многоугольников.

Здесь прямоугольные треугольники, сделанные сечениями по осям симметрии правильных многоугольников, используются для вычисления фундаментальных тригонометрических соотношений. В каждом из прямоугольных треугольников вершинами являются:

• Центр многоугольника
• Вершина многоугольника
• Середина стороны, содержащей эту вершину

Правильный n-угольник можно разделить на 2n треугольников с углами 180n, 90 − 180n, 90 градусов для n, большего или равного 3. Возможность построения при помощи циркуля и линейки треугольника, квадрата, пяти- и пятнадцатиугольника — в базе, биссектрисы углов также позволяют быть выведенными многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника.

• Можно построить при помощи циркуля и линейки
  • Правильные 3 × 2ⁿ-угольники, где n = 0, 1, 2, 3, …
    • 30°-60°-90°: Правильный треугольник
    • 60°-30°-90°: Правильный шестиугольник
    • 75°-15°-90°: Правильный двенадцатиугольник
    • 82,5°-7.5°-90°: Правильный двадцатичетырёхугольник
    • 86,25°-3.75°-90°: Правильный 48-угольник
    • 88,125°-1.875°-90°: Правильный 96-угольник
    • 89,0625°-0.9375°-90°: Правильный 192-угольник
    • 89,53125°-0.46875°-90°: Правильный 384-угольник
    • …
  • 4 × 2ⁿ-угольники
    • 45°-45°-90°: Квадрат
    • 67,5°-22.5°-90°: Правильный восьмиугольник
    • 78,75°-11.25°-90°: Правильный шестнадцатиугольник
    • 84,375°-5.625°-90°: Правильный 32-угольник
    • 87,1875°-2.8125°-90°: Правильный 64-угольник
    • 88,09375°-1.40625°-90°: Правильный 128-угольник
    • 89,046875°-0.703125°-90°: Правильный 256-угольник
    • …
  • 5 × 2ⁿ-угольники
    • 54°-36°-90°: Правильный пятиугольник
    • 72°-18°-90°: Правильный десятиугольник
    • 81°-9°-90°: Правильный двадцатиугольник
    • 85,5°-4.5°-90°: Правильный сорокаугольник
    • 87,75°-2.25°-90°: Правильный восьмидесятиугольник
    • 88,875°-1.125°-90°: Правильный 160-угольник
    • 89,4375°-0.5625°-90°: Правильный 320-угольник
    • …
  • 15 × 2ⁿ-угольники
    • 78°-12°-90°e: Правильный пятнадцатиугольник
    • 84°-6°-90°: Правильный тридцатиугольник
    • 87°-3°-90°: Правильный шестидесятиугольник
    • 88,5°-1.5°-90°: Правильный стодвадцатиугольник
    • 89,25°-0.75°-90°: Правильный 240-угольник
  • …

Есть и ещё правильные многоугольники, которые можно построить при помощи циркуля и линейки: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, …, 65535, 65537, 69481, 73697, …, 4294967295.)

• Нельзя построить при помощи циркуля и линейки (с полуградусными или целыми углами) — Для получаемых соотношений сторон треугольников нет конечных радикальных форм, включающих действительные числа, а значит, многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника, не огут быть выведены.
  • 9 × 2ⁿ-угольники
    • 70°-20°-90°: Правильный девятиугольник
    • 80°-10°-90°: Правильный восемнадцатиугольник
    • 85°-5°-90°: Правильный 36-угольник
    • 87,5°-2.5°-90°: Правильный 72-угольник
    • …
  • 45 × 2ⁿ-угольники
    • 86°-4°-90°: Правильный сорокапятиугольник
    • 88°-2°-90°: Правильный девяностоугольник
    • 89°-1°-90°: Правильный 180-угольник
    • 89,5°-0.5°-90°: Правильный 360-угольник
    • …

Подсчитанные значения синуса и косинусаПравить

Тривиальные величиныПравить

Синус и косинус 0, 30, 45, 60 и 90 градусов могут быть вычислены из соответственных прямоугольных треугольников по теореме Пифагора.

При использовании радианов, синус и косинус $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  / 2ⁿ могут быть выражены в радикальной форме при помощи рекурсивного применения следующих формул:

$2\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->4\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->8\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}}$$2\cos \theta ={\sqrt {2+2\cos 2\theta }}={\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta }}}}}}$ ; т.д.

$2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\sqrt{2-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->4\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}=\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->8\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}}$$2\sin \theta ={\sqrt {2-2\cos 2\theta }}={\sqrt {2-{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta }}}}}}$ ; т.д.

Например:

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^1}=\frac{0}{2}$$\cos {\frac {\pi }{2^{1}}}={\frac {0}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^2}=\frac{\sqrt{2+0}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+0}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^2}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->0}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-0}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^3}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^3}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^4}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^5}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^5}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^6}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2^6}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}$ 

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ (3 × 2ⁿ)Править

$\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}=\frac{-<!--\; -\; -->1}{2}$$\cos {\frac {2\pi }{3}}={\frac {-1}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->1}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{2+1}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^1}=\frac{\sqrt{2+1}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^1}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->1}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^2}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^3}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^3}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^4}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^5}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\times <!--\; \times \; -->2^5}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}$ 

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ (5 × 2ⁿ)Править

$\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\frac{\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1}{4}$$\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$  (Поэтому $2+2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=2+\sqrt{1.25}+0.5$$2+2\cos {\frac {\pi }{5}}=2+{\sqrt {1.25}}+0.5$ )

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^1}=\frac{\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^1}=\frac{\sqrt{1.5-<!--\; -\; -->\sqrt{1.25}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {1.5-{\sqrt {1.25}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^2}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^3}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^3}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^4}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^5}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5\times <!--\; \times \; -->2^5}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}}}{2}}$ 

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ (5 × 3 × 2ⁿ)Править

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}-<!--\; -\; -->0.25}{2}$$\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}-0.25}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^1}=\frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^1}=\frac{\sqrt{2.25-<!--\; -\; -->\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}-<!--\; -\; -->\sqrt{0.3125}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2.25-{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}-{\sqrt {0.3125}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^2}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^3}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^3}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^4}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}{2}}$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^5}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15\times <!--\; \times \; -->2^5}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}}}{2}$$\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}}}{2}}$ 

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ (17 × 2ⁿ)Править

Если $M=2(17+\sqrt{17})$$M=2(17+{\sqrt {17}})$  и $N=2(17-<!--\; -\; -->\sqrt{17})$$N=2(17-{\sqrt {17}})$ , то

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{17}=\frac{\sqrt{M-<!--\; -\; -->4+2(\sqrt{N}+\sqrt{2(2M-<!--\; -\; -->N+\sqrt{17N}-<!--\; -\; -->\sqrt{N}-<!--\; -\; -->8\sqrt{M})})}}{8}.$$\cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {\sqrt {M-4+2({\sqrt {N}}+{\sqrt {2(2M-N+{\sqrt {17N}}-{\sqrt {N}}-8{\sqrt {M}})}})}}{8}}.$ 

Затем, используя индукцию, получаем, что

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{17\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{30+2\sqrt{17}+\sqrt{136-<!--\; -\; -->8\sqrt{17}}+\sqrt{272+48\sqrt{17}+8\sqrt{34-<!--\; -\; -->2\sqrt{17}}\times <!--\; \times \; -->(\sqrt{17}-<!--\; -\; -->1)-<!--\; -\; -->64\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8};$$\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {30+2{\sqrt {17}}+{\sqrt {136-8{\sqrt {17}}}}+{\sqrt {272+48{\sqrt {17}}+8{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\times ({\sqrt {17}}-1)-64{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}}{8}};$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{17\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{17\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{17\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{17\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2}.$$\sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}.$ 

Радикальная форма, синус и косинус $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ (257 × 2ⁿ); $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ (65537 × 2ⁿ)Править

Индукция, применённая выше, может быть применена точно так же к любым простым числам Ферма (F₃=2²³+1=2⁸+1=257; F₄=2²⁴+1=2¹⁶+1=65537), кратные $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  чьи значения синуса и косинуса в радикальной форме существуют, но чересчур длинны, чтобы их здесь привести.

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{257\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{257\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{257\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{257\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2};$$\sin {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n}}}}}{2}};$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65537\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65537\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65537\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65537\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2}.$$\sin {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n}}}}}{2}}.$ 

Радикальная форма, синус и косинус $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ (255 × 2ⁿ), $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ (65535 × 2ⁿ); $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ (4294967295 × 2ⁿ)Править

D = 2³² — 1 = 4294967295 — самый большой известный на данный момент нечётный целый знаменатель, для которого радикальные формы sin($\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /D) и cos ($\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /D) известны. Используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило $\cos <!--\; \; -->(a-<!--\; -\; -->b)=\cos <!--\; \; -->a\times <!--\; \times \; -->\cos <!--\; \; -->b+\sin <!--\; \; -->a\times <!--\; \times \; -->\sin <!--\; \; -->b$$\cos(a-b)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$  по индукции, получаем -

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{255\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{17})}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{15}}-{\frac {\pi }{17}})}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{255\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{15}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{17})}}{2};$$\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{15}}-{\frac {\pi }{17}})}}{2}};$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{255\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{255\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{255\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{255\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2};$$\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n}}}}}{2}};$ 

Следовательно, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило $\cos <!--\; \; -->(a-<!--\; -\; -->b)=\cos <!--\; \; -->a\times <!--\; \times \; -->\cos <!--\; \; -->b+\sin <!--\; \; -->a\times <!--\; \times \; -->\sin <!--\; \; -->b$$\cos(a-b)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$  по индукции, получаем -

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65535\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{255}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{257})}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{255}}-{\frac {\pi }{257}})}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65535\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{255}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{257})}}{2};$$\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{255}}-{\frac {\pi }{257}})}}{2}};$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65535\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65535\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65535\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65535\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2}.$$\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n}}}}}{2}}.$ 

И наконец, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило $\cos <!--\; \; -->(a-<!--\; -\; -->b)=\cos <!--\; \; -->a\times <!--\; \times \; -->\cos <!--\; \; -->b+\sin <!--\; \; -->a\times <!--\; \times \; -->\sin <!--\; \; -->b$$\cos(a-b)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$  по индукции, получаем -

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4294967295\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65535}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65537})}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{65535}}-{\frac {\pi }{65537}})}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4294967295\times <!--\; \times \; -->2^0}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65535}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{65537})}}{2};$$\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{65535}}-{\frac {\pi }{65537}})}}{2}};$ 

$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4294967295\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4294967295\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2}$$\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n}}}}}{2}}$ ; $\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4294967295\times <!--\; \times \; -->2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4294967295\times <!--\; \times \; -->2^n}}}{2}.$$\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n}}}}}{2}}.$ 

Радикальная форма раскрытия, приведённого выше, очень велика, следовательно, выражена проще (как выше).

n × π(5 × 2^m)Править

 

Хорда(36°) = ab = 1φ, то есть, числу, обратному золотому сечению, из неравенства Птолемея

Геометрический методПравить

Применяя неравенство Птолемея ко вписанному четырёхугольнику ABCD, определённому четырьмя последовательными вершинами пятиугольника, находим, что:

$\mathrm{crd}<!--\; \; -->{36}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\mathrm{crd}<!--\; \; -->(\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{B})=\frac{a}{b}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1}{2}$$\operatorname {crd} 36^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ADB} )={\frac {a}{b}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ 

что равно обратному числу 1φ по отношению к золотому сечению. crd — функция длины хорды,

$\mathrm{crd}<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=2\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}.$$\operatorname {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta }{2}}.\,$ 

А значит,

$\sin <!--\; \; -->{18}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1}{4}.$$\sin 18^{\circ }={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}.$ 

(Также можно обойтись и без неравенства Птолемея. Обозначим за X пересечение AC и BD, и заметим, что треугольник AXB равнобедренный, а значит, AX = AB = a. Треугольники AXD и CXB подобны, так как AD параллельно BC. Значит, XC = a·(ab). Но AX + XC = AC, а значит, a + a²b = b. Решив полученное, имеем, что ab = 1φ, как и получено ранее).

Точно так же

$\mathrm{crd}<!--\; \; -->{108}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\mathrm{crd}<!--\; \; -->(\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C})=\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},$$\operatorname {crd} \ 108^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},$ 

а значит,

$\sin <!--\; \; -->{54}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\cos <!--\; \; -->{36}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$$\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}.$ 

Алгебраический методПравить

Если θ равно 18° или −54°, то 2θ и 3θ сводятся к 5θ = 90° или −270°, значит, $\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\cos <!--\; \; -->3\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\sin 2\theta =\cos 3\theta$ .

$(2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\cos <!--\; \; -->3\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=4{\cos }^3<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->3\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=(4{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->3)\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=(1-<!--\; -\; -->4{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$(2\sin \theta )\cos \theta =\sin 2\theta =\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =(4\cos ^{2}\theta -3)\cos \theta =(1-4\sin ^{2}\theta )\cos \theta$ 

Далее, $4{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->1=0$$4\sin ^{2}\theta +2\sin \theta -1=0$ , что значит $\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\sin <!--\; \; -->({18}^{\circ <!--\; \circ \; -->},-<!--\; -\; -->{54}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{5}}{4}.$$\sin \theta =\sin(18^{\circ },-54^{\circ })={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}.$ 

Следовательно,

$\sin <!--\; \; -->({18}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\cos <!--\; \; -->({72}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\frac{\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1}{4}$$\sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$  и $\sin <!--\; \; -->({54}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\cos <!--\; \; -->({36}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$\sin(54^{\circ })=\cos(36^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$  и

$\sin <!--\; \; -->({36}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\cos <!--\; \; -->({54}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\frac{\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}}{4}$$\sin(36^{\circ })=\cos(54^{\circ })={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$  и $\sin <!--\; \; -->({72}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\cos <!--\; \; -->({18}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}.$$\sin(72^{\circ })=\cos(18^{\circ })={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}.$ 

Также формулы кратного угла для функций от 5x, где x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} и 5x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, могут быть решены для функций от x, так как мы знаем значения функций от 5x. Далее следуют формулы кратного угла:

$\sin <!--\; \; -->5x=16{\sin }^5<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->20{\sin }^3<!--\; \; -->x+5\sin <!--\; \; -->x,$$\sin 5x=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x,\,$ 

$\cos <!--\; \; -->5x=16{\cos }^5<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->20{\cos }^3<!--\; \; -->x+5\cos <!--\; \; -->x.$$\cos 5x=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x.\,$ 

• Если sin 5x = 0 или cos 5x = 0, обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:

$16y^5-<!--\; -\; -->20y^3+5y=0.$$16y^{5}-20y^{3}+5y=0.\,$ 

Один из корней равен 0, так что полученное уравнение четвёртой степени может быть решено как квадратное для y².

• Если же sin 5x = 1 или cos 5x = 1, опять-таки обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:

$16y^5-<!--\; -\; -->20y^3+5y-<!--\; -\; -->1=0,$$16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0,\,$ 

что мы рассматриваем как:

$(y-<!--\; -\; -->1){\left(4y^2+2y-<!--\; -\; -->1\right)}^2=0.$$(y-1)\left(4y^{2}+2y-1\right)^{2}=0.\,$ 

n × $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 20Править

9° = 45 − 36 и 27° = 45 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.

n × $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 30Править

6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3, и 42° = 60 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.

n × $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 60Править

3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 и 39° = 54 − 15, так что можно использовать формулу разности (или суммы) для синуса и косинуса.

Способы упрощения выраженийПравить

Рационализация знаменателяПравить

• Если знаменатель является корнем натуральной степени n > 1, числитель и знаменатель нужно умножить на этот радикал в степени n − 1: $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$${\tfrac {1}{\sqrt {3}}}={\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$ .
• В общем случае если знаменатель — алгебраическое число второй степени (комплексное число вида $q\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{r}$$q\pm {\sqrt {r}}$ , где q и r рациональны), то числитель и знаменатель нужно умножить на сопряжённое ему число: $\frac{1}{1+\sqrt{3}}=\frac{1-<!--\; -\; -->\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})(1-<!--\; -\; -->\sqrt{3})}=\frac{1-<!--\; -\; -->\sqrt{3}}{-<!--\; -\; -->2}.$${\tfrac {1}{1+{\sqrt {3}}}}={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{(1+{\sqrt {3}})(1-{\sqrt {3}})}}={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{-2}}.$ 
• В некоторых случаях знаменатель нужно рационализировать больше одного раза:
  • $\csc <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\frac{4\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}}{\sqrt{(10+2\sqrt{5})(10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5})}}=\frac{\sqrt{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10(5-<!--\; -\; -->\sqrt{5})}}{5}.$$\csc {\tfrac {2\pi }{5}}={\tfrac {4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}={\tfrac {4{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})(10-2{\sqrt {5}})}}}={\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\sqrt {5}}}={\tfrac {\sqrt {10(5-{\sqrt {5}})}}{5}}.$ 
• А если знаменатель представляет собой алгебраическое число более чем второй степени, то лучше всего будет не умножать на сопряжённые числа (хотя это тоже имеет место), а найти минимальный многочлен этого алгебраического числа, выразить через него многочлен, одним из корней какого является число, обратное этому числу, и найти корни последнего.
  • Дано число $\sec <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}=\frac{6}{-<!--\; -\; -->1+\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-<!--\; -\; -->21\sqrt{3}i}{2}}}.$$\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\frac {6}{-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}}}.$  Обратная к нему величина, умноженная на 2, является корнем многочлена $b^3+b^2-<!--\; -\; -->2b-<!--\; -\; -->1$$b^{3}+b^{2}-2b-1$  (это было показано выше). Тогда сам секанс, делённый на 2, — корень многочлена $(b^{-<!--\; -\; -->3}+b^{-<!--\; -\; -->2}-<!--\; -\; -->2b^{-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->1)b^3$$(b^{-3}+b^{-2}-2b^{-1}-1)b^{3}$ , и в итоге $\sec <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}=\frac{2}{3}(-<!--\; -\; -->2+\sqrt[3]{\frac{-<!--\; -\; -->7+21\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-<!--\; -\; -->7-<!--\; -\; -->21\sqrt{3}i}{2}}).$$\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\tfrac {2}{3}}(-2+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7+21{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}).$ 

Превращение дроби в сумму (разность) двух (или более) дробейПравить

Иногда помогает разбиение одной дроби на сумму нескольких и дальнейшее их упрощение по отдельности.

Возведение в квадрат и извлечение квадратного корняПравить

Этот план может помочь, если выражение состоит из одного составного члена и в нём присутствует только один тип радикала. Возведите член в квадрат, сложите как члены и извлеките квадратный корень. Этот способ может оставить вложенные радикалы, но часто такое выражение проще первоначального.

Упрощение выражений с вложенными радикаламиПравить

Основная статья: Вложенные радикалы

В основном вложенные радикалы не упрощаются. Но если

$\sqrt{a\pm <!--\; \pm \; -->b\sqrt{c}}$${\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}\,$ 

где a, b и c — рациональные числа, получаем, что

$R=\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->b^{2}c}$$R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,$ 

рационально, затем оба выражения

$d=\frac{a+R}{2}\text{ и }e=\frac{a-<!--\; -\; -->R}{2}$$d={\frac {a+R}{2}}{\text{ и }}e={\frac {a-R}{2}}\,$ 

рациональны; следовательно

$\sqrt{a\pm <!--\; \pm \; -->b\sqrt{c}}=\sqrt{d}\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{e}.$${\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}.\,$ 

Например,

$4\sin <!--\; \; -->{18}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\sqrt{6-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1.$$4\sin 18^{\circ }={\sqrt {6-2{\sqrt {5}}}}={\sqrt {5}}-1.\,$ 

$4\sin <!--\; \; -->{15}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=2\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}}=\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-<!--\; -\; -->1\right).$$4\sin 15^{\circ }=2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right).$ 

См. такжеПравить

• Многоугольник, который можно построить при помощи циркуля и линейки, для любого из них синус и косинус центрального и внутреннего угла имеет рациональное выражение в квадратных корнях
• Построение семнадцатиугольника, дающее точное выражение для cos 2$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 17
• Тригонометрические тождества
• Теорема Нивена^[en] для рациональных значений синуса от рационального кратного $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 
• Птолемеева таблица хорд^[en]
• Тригонометрические функции
• Тригонометрическое число, значение тригонометрической функции от рационального кратного $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ 

ПримечанияПравить

• Weisstein, Eric W. Constructible polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Trigonometry angles (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /3 (60°) — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /6 (30°) — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /12 (15°) — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /24 (7.5°)
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /4 (45°) — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /8 (22.5°) — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /16 (11.25°) — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /32 (5.625°)
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /5 (36°) — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /10 (18°) — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /20 (9°)
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /7 — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /14
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /9 (20°) — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /18 (10°)
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /11
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /13
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /15 (12°) — $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /30 (6°)
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /17
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /19
  • $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /23
• Bracken, Paul; Cizek, Jiri. Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of ζ(3)/$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ ³ (англ.) // Int. J. Quantum Chem.  (англ.) (рус. : journal. — 2002. — Vol. 90, no. 1. — P. 42—53. — doi:10.1002/qua.1803.
• Conway, John H.; Radin, Charles  (англ.) (рус.; Sadun, Lorenzo. On angles whose squared trigonometric functions are rational (англ.) // Disc. And Comp. Geom. : journal. — 1999. — Vol. 22, no. 3. — P. 321—332. — doi:10.1007/PL00009463. — arXiv:math-ph/9812019.
• Girstmair, Kurt. Some linear relations between values of trigonometric functions at k$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ /n (англ.) // Acta Arithmetica  (англ.) (рус. : journal. — 1997. — Vol. 81, no. 4. — P. 387—398. — doi:10.4064/aa-81-4-387-398.
• Gurak, S. On the minimal polynomial of gauss periods for prime powers (англ.) // Mathematics of Computation  (англ.) (рус. : journal. — 2006. — Vol. 75, no. 256. — P. 2021—2035. — doi:10.1090/S0025-5718-06-01885-0. — Bibcode: 2006MaCom..75.2021G.
• Servi, L. D. Nested square roots of 2 (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 2003. — Vol. 110, no. 4. — P. 326—330. — doi:10.2307/3647881. — JSTOR 3647881.

СсылкиПравить

• Конструируемые правильные многоугольники
• Синус и косинус в виде иррациональных чисел включает альтернативные выражения в некоторых случаях, также как и выражения для некоторых углов