Сопряжённые числа

Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями. Например, сопряжёнными являются числа $3+4i$$3+4i$ и $3-<!--\; -\; -->4i$$3-4i$. Число, сопряжённое к числу $z$$z$, обозначается $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$$\overline{z}$. В общем случае, сопряжённым к числу $z=a+ib$$z=a+ib$ (где $a$$a$ и $b$$b$ — действительные числа) является $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}=a-<!--\; -\; -->ib$${\overline {z}}=a-ib$.

Геометрическое представление $z$$z$ и его сопряжённого $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$${\bar {z}}$ на комплексной плоскости

Например:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{(3-<!--\; -\; -->2i)}=3+2i$${\overline {(3-2i)}}=3+2i$

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{7}=7$${\overline {7}}=7$

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{i}=-<!--\; -\; -->i.$${\overline {i}}=-i.$

На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид $r{e}^{i\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$re^{i\phi }$ и $r{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$re^{-i\phi }$, что непосредственно следует из формулы Эйлера.

Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

СвойстваПравить

Для произвольных комплексных чисел $z$$z$  и $w$$w$ :

• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{(z\pm <!--\; \pm \; -->w)}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}\pm <!--\; \pm \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{w}$${\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}$ ,
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{(zw)}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{w}$${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$ 
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}=z\iff <!--\; \iff \; -->z$${\overline {z}}=z\Leftrightarrow z$  является действительным числом,
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z^n}={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}^n$${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$  для всех целых $n$$n$ ,
• $\left|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}\right|=\left|z\right|$$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$ ,
• ${\left|z\right|}^2=z\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}z$${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$ ,
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}=z$${\overline {\overline {z}}}=z$  (то есть, сопряжение является инволюцией),
• $z^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}{{\left|z\right|}^2}$$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ , если $z$$z$  не равно нулю. С помощью этого свойства вычисляют обратное комплексного числа заданного в прямоугольных координатах.

Если $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  является голоморфной функцией, сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)$$\phi (z)$ , то:

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z})=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)}$$\phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}$ .

В частности:

• $\exp <!--\; \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z})=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\exp <!--\; \; -->(z)}$$\exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}$ 
• $\log <!--\; \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z})=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\log <!--\; \; -->(z)}$$\log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}$ , если $z$$z$  не равно нулю.
• если $p$$p$  — полином с действительными коэффициентами и $p(z)=0$$p(z)=0$ , то также $p(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z})=0$$p({\overline {z}})=0$ , то есть комплексные (не действительные) корни таких многочленов всегда образуют комплексно-сопряжённые пары.

Определение координат числа и сопряженияПравить

Прямоугольные и полярные координаты комплексного числа могут быть определены с помощью формул:

• $x=\mathrm{Re}(z)=(z+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z})/2$$x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2$ 
• $y=\mathrm{Im}(z)=(z-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z})/2i$$y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i$ 
• $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\left|z\right|=\sqrt{z\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}$$\rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}$ 
• $e^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=z/\left|z\right|=e^{i\arg <!--\; \; -->z}=\sqrt{z/\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}$$e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}$  (если $z$$z$  не равно нулю).

ЛитератураПравить

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.