Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

$y^3+py+q=0$$y^{3}+py+q=0$

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году. В 1545 году Никколо Тарталья обвинил Кардано в плагиате: последний в трактате «Ars Magna» раскрыл алгоритм решения кубических уравнений, доверенный ему Тартальей в 1539 году под обещание не публиковать. Хотя Кардано не приписывал алгоритм себе и честно сообщил в книге, что авторами являются Сципион дель Ферро и Тарталья, алгоритм ныне известен под незаслуженным названием «формула Кардано».

Любое кубическое уравнение общего вида

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

при помощи замены переменной

$x=y-<!--\; -\; -->\frac{b}{3a}$$x=y-{\frac {b}{3a}}$

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

$p=\frac{c}{a}-<!--\; -\; -->\frac{b^2}{3a^2}=\frac{3ac-<!--\; -\; -->b^2}{3a^2},$$p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}},$

$q=\frac{2b^3}{27a^3}-<!--\; -\; -->\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=\frac{2b^3-<!--\; -\; -->9abc+27a^{2}d}{27a^3}.$$q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.$

ФормулаПравить

Определим величину:

$Q={\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2.$$Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.$ 

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

• Q > 0 — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
• Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
• Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

$y_1=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},$$y_{1}=\alpha +\beta ,$ 

$y_{2,3}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}\pm <!--\; \pm \; -->i\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}\sqrt{3},$$y_{{2,3}}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},$ 

где

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\sqrt[3]{-<!--\; -\; -->\frac{q}{2}+\sqrt{Q}},$$\alpha ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},$ 

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\sqrt[3]{-<!--\; -\; -->\frac{q}{2}-<!--\; -\; -->\sqrt{Q}},$$\beta ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},$ 

Дискриминант многочлена $y^3+py+q$$y^{3}+py+q$  при этом равен $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=-<!--\; -\; -->108Q$$\Delta =-108Q$ .

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  необходимо брать такое $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , для которого выполняется условие $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=-<!--\; -\; -->p/3$$\alpha \beta =-p/3$  (такое значение $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha ,\beta$ .

Вывод

Представим уравнение в виде

$\underset{i=1}{\overset{3}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(y-<!--\; -\; -->y_i)=0(1)$$\prod _{{i=1}}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)$ 

где $y_i$$y_{i}$  - корни уравнения. Тогда

$\underset{i=1}{\overset{3}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(y_i)=-<!--\; -\; -->q.(2)$$\prod _{{i=1}}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)$ 

Примем:

$-<!--\; -\; -->q={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^3(3)$$\ -q=\alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)$ 

Тогда, решая уравнение (3) получим

$-<!--\; -\; -->q=(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})(4)$$\ -q=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta )\qquad (4)$ 

Одним из корней будет $y=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\ y=\alpha +\beta$ . Подставив его в исходное уравнение, получим:

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^3+(3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+p)(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+q=0$$\alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0$ 

Подставляя q из (3), приходим к системе:

$\{\begin{array}{c}(3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+p)(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=0\\ {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^3=-<!--\; -\; -->q\end{array}$$\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.$ 

Зная, что в общем случае сумма $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha +\beta$  не равна нулю, получаем систему

$\{\begin{array}{c}(3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+p)=0\\ {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^3=-<!--\; -\; -->q\end{array}$$\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.$ 

которая равносильна системе

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^3=-<!--\; -\; -->\frac{p^3}{27}=m\\ {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^3=-<!--\; -\; -->q=-<!--\; -\; -->n\end{array}$$\left\{{\begin{matrix}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \over 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q=-n\end{matrix}}\right.$ 

Последняя представляет собой формулы Виета для двух корней ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3$$\alpha ^{3}$  и ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^3$$\beta ^{3}$  квадратного уравнения:

$z^2+nz+m=0$$\ z^{2}+nz+m=0$ 

Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta$ 

См. такжеПравить

• Кубическое уравнение
• Метод Феррари
• Резольвента алгебраического уравнения
• Тарталья, Никколо
• Теорема Абеля — Руффини

ЛитератураПравить

• Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричикова Е. А. Справочник по высшей математике в двух томах. — Минск: Тетрасистемс, 1999. — 640 с. — ISBN 985-6317-51-7.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.

СсылкиПравить

• http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php
• http://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf