Теорема Гаусса — Ванцеля

Теоре́ма Га́усса — Ва́нцеля даёт необходимое и достаточное условие на то, что правильный $n$$n$-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки.

Построение правильного пятиугольника.

ФормулировкаПравить

Правильный $n$$n$ -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда $n=2^k\cdot <!--\; \cdot \; -->p_1\cdot <!--\; \cdot \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->p_m$$n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m}$ , где $k$$k$  и $m$$m$  — неотрицательные целые числа, а $p_i$$p_{i}$  — различные простые числа Ферма.

ЗамечанияПравить

• Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(n)$$\varphi (n)$  является степенью числа два.

• В настоящее время найдены только пять простых чисел Ферма:

  $3,5,17,257,65537;$$3,\,5,\,17,\,257,\,65537;$ 

поэтому (до открытия новых простых Ферма) с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с максимальным нечётным числом сторон, равным $3\cdot <!--\; \cdot \; -->5\cdot <!--\; \cdot \; -->17\cdot <!--\; \cdot \; -->257\cdot <!--\; \cdot \; -->65537=2^{32}-<!--\; -\; -->1$$3\cdot 5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537=2^{32}-1$  = 4294967295.

• Правильный $n$$n$ -многоугольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда при наличии на плоскости отрезка длины $1$$1$  можно построить отрезок, длина которого равна $\cos <!--\; \; -->\frac{2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}$$\cos {\tfrac {2\cdot \pi }{n}}$  — косинусу центрального угла данного $n$$n$ -многоугольника. Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда данный косинус является вещественно построимым числом, то есть может быть выражен при помощи целых чисел, простейших арифметических операций и извлечения квадратного корня.

ИсторияПравить

Античным геометрам были известны способы построения правильных $n$$n$ -угольников для $n=2^k,3\cdot <!--\; \cdot \; -->2^k,5\cdot <!--\; \cdot \; -->2^k$$n=2^{k},3\cdot 2^{k},5\cdot 2^{k}$  и $3\cdot <!--\; \cdot \; -->5\cdot <!--\; \cdot \; -->2^k$$3\cdot 5\cdot 2^{k}$ .

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных $n$$n$ -угольников при $n=2^k\cdot <!--\; \cdot \; -->p_1\cdots <!--\; \cdots \; -->p_m$$n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m}$ , где $p_i$$p_{i}$  — различные простые числа Ферма. (Здесь случай $m=0$$m=0$  соответствует числу сторон $n=2^k$$n=2^{k}$ .)

В 1837 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:

• Построение правильного семнадцатиугольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 году.
• Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 году.
• В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом десятилетней работы И. Г. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением.Дж. Литлвуд

СсылкиПравить

• Жак Сезиано История построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки от Евклида до Гаусса Семинар по истории математики 4 мая 2017 года 18:00, Санкт-Петербург, ПОМИ, Фонтанка 27, аудитория 106.