Правильный додекаэдр

Правильный додекаэдр
Правильный додекаэдр
	; (вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	правильный многогранник
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
12 граней; 30 рёбер; 20 вершин	Χ = 2
Грани	правильные пятиугольники
Конфигурация вершины	53
Двойственный многогранник	правильный икосаэдр
	Вершинная фигура
	Развёртка
Классификация
Обозначения	U23, C26, W5
Символ Шлефли	{5,3}
Символ Витхоффа[en]	3 \| 2 5
Диаграмма Дынкина
Группа симметрии	Ih, H3, [5,3], (*532)
Группа вращения	I, [5,3]+, (532)
Количественные данные
Длина ребра	a
Площадь поверхности	3 25 + 10 5 a 2
Объём	15 + 7 5 4 a 3
Двугранный угол	arccos ⁡ ( − 1 / 5 1 / 2 ) ≈ 116.565
Телесный угол при вершине	π − tan − 1 ⁡ ( 2 11 ) ≈ 2.96
	Медиафайлы на Викискладе

Пра́вильный додека́эдр (от др.-греч. δώδεκα — «двенадцать» и εδρον — «грань») — один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников^[1], являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Додекаэдр и его описанная сфера

ИсторияПравить

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости^[2]^[3].

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»^[4]. Евклид в предложении 17 книги XIII «Начал» строит додекаэдр на рёбрах куба^[5]^[6]^:132-136. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях^[7]^[6]^:318-319^[8].

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II—III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Вскоре после появления кубика Рубика, в 1981 году была запатентована подобная головоломка в форме правильного додекаэдра — мегаминкс. Как и у классического кубика Рубика, к каждому ребру у неё прилегает по три детали^[9]. Позднее, как и для кубика Рубика появились такие додекаэдрические головоломки с четырьмя деталями при ребре (гигаминкс), пятью (тераминкс) и т.д. Сложность и время сборки их, как и для кубика Рубика возрастает по мере увеличения числа деталей при ребре.

Основные формулыПравить

Если за длину ребра принять $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a$ , то площадь поверхности додекаэдра равна

\text{[math]}

S=3a^{2}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\approx 20{,}65a^{2}.

Объём додекаэдра

\text{[math]}

V={\frac {a^{3}}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\approx 7{,}66a^{3}.

Радиус описанной сферы^[10]

\text{[math]}

R={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\approx 1{,}4012a.

Радиус полувписанной сферы равен $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}}a\approx 1{,}309a.$ ^[10]

Радиус вписанной сферы^[10]

\text{[math]}

r={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\approx 1{,}1135a.

СвойстваПравить

Все двадцать вершин додекаэдра лежат по пять в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный пятиугольник.
Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен arccos(−1/√5) ≈ 116,565°^[10].
Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°, телесный (трёхгранный) угол равен arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617 стерадиана.
В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все рёбра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трёхмерных пространств.
Ближайшая параллельная к произвольно выбранной грани плоскость, в которой лежат пять вершин, не принадлежащих выбранной грани, отстоит от этой грани на расстояние радиуса описанной вокруг данной грани окружности. А радиус описанной вокруг этих пяти вершин окружности равен диаметру вписанной в любую из граней окружности. Эти две величины равны, соответственно, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a$ — длина ребра додекаэдра.

Элементы симметрии додекаэдраПравить

Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных рёбер.
Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.
Группа вращений додекаэдра обозначается $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $I$ и изоморфна $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{5}$ (знакопеременная группа степени 5), а полная группа симметрий $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $I_{h}$ изоморфна $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{5}\times Z_{2}$ .

Связь со сферическим замощениемПравить

Правильный додэкаэдр также индуцирует замощение сферы правильными пятиугольниками.

Ортографическая проекция^[en]	Стереографическая проекция

Интересные фактыПравить

Форму, близкую к додекаэдру, имеет описанная Эрнстом Геккелем в 1887 году радиолярия Circorrhegma dodecahedra^[11].
В 2003 году, при анализе данных космического аппарата WMAP, была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой додекаэдрическое пространство Пуанкаре^[12]^[13]^[14].

В культуреПравить

Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх^[15], и обозначается при этом d12 (dice — кости).
Изготавливаются настольные календари в форме додекаэдра из бумаги, где каждый из двенадцати месяцев расположен на одной из граней^[15].
В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры^{[источник не указан 2556 дней]}.
В играх «Sonic the Hedgehog 3» и «Sonic & Knuckles» серии Sonic the Hedgehog вид додекаэдра имеют Изумруды Хаоса^{[источник не указан 2556 дней]}.
В игре «Destiny» форму додекаэдра имеют энграммы^{[источник не указан 2556 дней]}.
В игре «Overwatch» персонаж Сигма при основной атаке выпускает по 2 додекаэдра^{[источник не указан 1033 дня]}.
Пульт управления системой освещения Nanoleaf Smart Remote Control ^[16].

См. такжеПравить

Пентагондодекаэдр — неправильный додекаэдр
Ромбододекаэдр
Ромбоикосододекаэдр
Двенадцатигранники

ПримечанияПравить

↑ Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
↑ Stefano De' Stefani. Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa (итал.) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : diario. — 1885-86. — P. 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом
↑ Amelia Carolina Sparavigna. An Etruscan Dodecahedron. — arXiv:1205.0706.
↑ Платон. «Тимей»
↑ Euclid's Elements. Book XIII. Proposition 17 (неопр.). Дата обращения: 1 июня 2014. Архивировано 19 мая 2014 года.
↑ ¹ ² Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
↑ Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Liber III. Propos. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Т. I. — С. 156—163.
↑ Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number (англ.). — Courier Dover Publications, 2013. — P. 117—118.
↑ Хорт В. Отчаянные головоломки. Мегаминкс — каверзный додекаэдр // Наука и жизнь. — 2018. — № 1. — С. 104—109. В этой статье, помимо прочего, приведён алгоритм сборки мегаминкса.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Dodecahedron (англ.) (2005—2007). Дата обращения: 1 июня 2014. Архивировано 4 марта 2016 года.
↑ В таблице XVII Архивная копия от 7 июня 2014 на Wayback Machine четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
↑ The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps (англ.). Дата обращения: 31 октября 2012. Архивировано 7 декабря 2013 года.
↑ Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background (англ.). Дата обращения: 31 октября 2012. Архивировано 7 декабря 2013 года.
↑ Jeffrey Weeks. The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations (англ.). Архивировано 4 ноября 2012 года.
↑ ¹ ² A. T. White. Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3.
↑ Products » Nanoleaf Remote | USA » Consumer IoT & LED Smart Lighting Products (англ.). Nanoleaf | USA. Дата обращения: 25 ноября 2021. Архивировано 25 ноября 2021 года.

СсылкиПравить

На Викискладе есть медиафайлы по теме Правильный додекаэдр

[1] Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[2] Stefano De' Stefani. Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa (итал.) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : diario. — 1885-86. — P. 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом

[3] Amelia Carolina Sparavigna. An Etruscan Dodecahedron. — arXiv:1205.0706.

[4] Платон. «Тимей»

[5] Euclid's Elements. Book XIII. Proposition 17 (неопр.). Дата обращения: 1 июня 2014. Архивировано 19 мая 2014 года.

[Euclid-6] ¹ ² Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.

[7] Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Liber III. Propos. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Т. I. — С. 156—163.

[8] Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number (англ.). — Courier Dover Publications, 2013. — P. 117—118.

[9] Хорт В. Отчаянные головоломки. Мегаминкс — каверзный додекаэдр // Наука и жизнь. — 2018. — № 1. — С. 104—109. В этой статье, помимо прочего, приведён алгоритм сборки мегаминкса.

[Dok-10] ¹ ² ³ ⁴ Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Dodecahedron (англ.) (2005—2007). Дата обращения: 1 июня 2014. Архивировано 4 марта 2016 года.

[11] В таблице XVII Архивная копия от 7 июня 2014 на Wayback Machine четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2

[12] The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps (англ.). Дата обращения: 31 октября 2012. Архивировано 7 декабря 2013 года.

[13] Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background (англ.). Дата обращения: 31 октября 2012. Архивировано 7 декабря 2013 года.

[14] Jeffrey Weeks. The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations (англ.). Архивировано 4 ноября 2012 года.

[white-15] ¹ ² A. T. White. Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3.

[16] Products » Nanoleaf Remote | USA » Consumer IoT & LED Smart Lighting Products (англ.). Nanoleaf | USA. Дата обращения: 25 ноября 2021. Архивировано 25 ноября 2021 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]