Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

Пример шести тригонометрических функций угла θ = 0.7 радиан, построенный в единичной окружности. Величины, отмеченные 1, Sec(θ) и Csc(θ) равны длинам сегментов луча, исходящего из центра окружности. Величины Sin(θ), Tan(θ) и 1 равны высотам над осью x, величины Cos(θ), 1 и Cot(θ) равны длинам сегментов оси x от центра окружности.

Основные тригонометрические формулыПравить

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1.1	${\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1$$\operatorname {sin}^{2}\alpha +\operatorname {cos}^{2}\alpha =1$	$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\forall \alpha$  (то есть любое значение α)
1.2	${\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1=\frac{1}{{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\sec }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\operatorname {tg}^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec}^{2}\alpha$	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n$$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n$  при $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$n\in \mathbb {Z}$
1.3	${\mathrm{ctg}}^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1=\frac{1}{{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{cosec}}^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\operatorname {ctg}^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec}^{2}\alpha$	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$\alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
1.4	$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1$$\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1$	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n}{2},n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$\alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$

• Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
• Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на ${\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\cos ^{2}\alpha$  и ${\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\sin ^{2}\alpha$  соответственно.
• Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументовПравить

 

Иллюстрация форм сложения и вычитания синусов и косинусов

 

Иллюстрация форм сложения тангенсов.

№	Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1	$\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\right)=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
2.2	$\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\right)=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mp <!--\; \mp \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
2.3	$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\right)=\frac{\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{1\mp <!--\; \mp \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\operatorname {tg}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg}\alpha \pm \operatorname {tg}\beta }{1\mp \operatorname {tg}\alpha \operatorname {tg}\beta }}$
2.4	$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\right)=\frac{\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mp <!--\; \mp \; -->1}{\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\operatorname {ctg}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg}\alpha \operatorname {ctg}\beta \mp 1}{\operatorname {ctg}\beta \pm \operatorname {ctg}\alpha }}$

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

  Формула (2.3) верна при $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha \pm \beta$ , отличных от $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n$${\pi \over 2}+\pi n$ , $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$n\in \mathbb {Z}$ .

Вывод формул для $\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}),\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$\sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )$ 

 

Рис 1. К доказательству вывода формулы

На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD.

Принято, что $AB=1,\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAC=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAB=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->};$$AB=1,\angle DAC=\alpha ,\angle DAB=\beta ;$ 

По построению: $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABC=90-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->};\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABD=90-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->};$$\angle ABC=90-\alpha -\beta ;\angle ABD=90-\beta ;$ 

Тогда: $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OBD=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABD-<!--\; -\; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABO=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};$$\angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha ;$ 

Из треугольника ABD:

$BD=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->};AD=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->};$$BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta ;$ 

Из треугольника BOD:

$OB=\frac{BD}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}};$$OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }};$ 

$OD=OB\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}$ 

Так как O лежит на отрезке AD:

$AO=AD-<!--\; -\; -->OD=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}$ 

Тогда сразу:

$\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=AC=AO\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\cos(\alpha +\beta )=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$ 

Из треугольника AOC:

$OC=AO\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}$ 

Следовательно:

$\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=BC=OB+OC=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=$$\sin(\alpha +\beta )=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }}+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=$ 

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha }}=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta$ 

Что и требовалось доказать.

Формулы двойного угла и половинного углаПравить

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять α:

№	Формулы двойного угла
3.1	$\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{2\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{1+{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }\ {\cos \alpha }={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$
3.2	$\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\operatorname {cos}2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }$  $\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=2{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1=1-<!--\; -\; -->2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\operatorname {cos}2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }$
3.3	$\mathrm{tg}<!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{2\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\operatorname {tg}2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg}\alpha }{1-\operatorname {tg}^{2}\alpha }}$
3.4	$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{{\mathrm{ctg}}^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}{2\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\operatorname {ctg}2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg}^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg}\alpha }}$

Примечания

для формулы $\mathrm{tg}<!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\operatorname {tg}2\alpha$ :

• $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne \frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}+\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}n,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z},$$\alpha \not ={\frac {\pi }4}+{\frac {\pi }2}n,n\in {\mathbb Z},$ 
• $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne \frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z},$$\alpha \not ={\frac {\pi }2}+\pi n,n\in {\mathbb Z},$ 

для формулы $\mathrm{ctg}<!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\operatorname {ctg}2\alpha$ : $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne \frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}.$$\alpha \not ={\frac {\pi }2}+\pi n,n\in {\mathbb Z}.$ 

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла:

№	Формулы половинного угла
3.5	$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{\frac{1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}$
3.6	$\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{\frac{1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}$
3.7	$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{\frac{1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }={-1\pm {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }} \over \operatorname {tg} \alpha }$

  В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует брать в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

  В формуле $\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}=\frac{1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }$  левая и правая части имеют разные области определения и, следовательно, её неосторожное использование может приводить к приобретению корней!

Формулы тройного углаПравить

Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять 2α:

№	Формулы тройного угла
4.1	$\sin <!--\; \; -->3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=3\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->4{\sin }^3<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha$
4.2	$\cos <!--\; \; -->3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=4{\cos }^3<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->3\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha$
4.3	$\mathrm{tg}<!--\; \; -->3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{3\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{tg}}^3<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{1-<!--\; -\; -->3{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\operatorname {tg}3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg}\alpha -\operatorname {tg}^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg}^{2}\alpha }}$
4.4	$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{3\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{ctg}}^3<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{1-<!--\; -\; -->3{\mathrm{ctg}}^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\operatorname {ctg}3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg}\alpha -\operatorname {ctg}^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg}^{2}\alpha }}$

Примечания

для формулы $\mathrm{tg}<!--\; \; -->3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\operatorname {tg}3\alpha$ : $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne \frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}+\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}n,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$\alpha \not ={\frac {\pi }6}+{\frac {\pi }3}n,n\in {\mathbb Z}$ 
для формулы $\mathrm{ctg}<!--\; \; -->3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\operatorname {ctg}3\alpha$ : $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne \frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}n+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$\alpha \not ={\frac {\pi }3}n+\pi n,n\in {\mathbb Z}$ ;

Формулы понижения степениПравить

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

№	Синус		№	Косинус
5.1	${\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}$$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$	5.5	${\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{1+\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}$$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$
5.2	${\sin }^3<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{3\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{4}$$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}$	5.6	${\cos }^3<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{3\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\cos <!--\; \; -->3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{4}$$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}$
5.3	${\sin }^4<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{3-<!--\; -\; -->4\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\cos <!--\; \; -->4\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{8}$$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$	5.7	${\cos }^4<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{3+4\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\cos <!--\; \; -->4\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{8}$$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$
5.4	${\sin }^5<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{10\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->5\sin <!--\; \; -->3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\sin <!--\; \; -->5\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{16}$$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}$	5.8	${\cos }^5<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{10\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+5\cos <!--\; \; -->3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\cos <!--\; \; -->5\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{16}$$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}$

№	Произведение
5.9	${\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->4\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{8}$$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}$
5.10	${\sin }^3<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\cos }^3<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{3\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->6\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{32}$$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}$
5.11	${\sin }^4<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\cos }^4<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{3-<!--\; -\; -->4\cos <!--\; \; -->4\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\cos <!--\; \; -->8\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{128}$$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}$
5.12	${\sin }^5<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\cos }^5<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{10\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->5\sin <!--\; \; -->6\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\sin <!--\; \; -->10\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{512}$$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}$

Формулы преобразования произведения функцийПравить

№	Формулы преобразования произведений функций
6.1	$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{2}$$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$
6.2	$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{2}$$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}$
6.3	$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{2}$$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}$

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2). Например, из формулы (2.1) следует:

$\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=$$\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =$ 

$=2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$=2\sin \alpha \cos \beta$ .

То есть:

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{2}$$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$     — формула (6.2).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

Формулы преобразования суммы функцийПравить

№	Формулы преобразования суммы функций
7.1	$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=2\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mp <!--\; \mp \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}$$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$
7.2	$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}$$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
7.3	$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=-<!--\; -\; -->2\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}$$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
7.4	$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\operatorname {tg}\alpha \pm \operatorname {tg}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$
7.5	$\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\operatorname {ctg}\alpha \pm \operatorname {ctg}\beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$

Вывод формул преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (6.1)—(6.3) с помощью подстановки:

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\prime }}{2}$$\alpha ={\frac {\alpha '+\beta '}{2}}$ 

и

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\prime }}{2}$$\beta ={\frac {\alpha '-\beta '}{2}}$ .

Подставим эти выражения в формулу (6.1):

$\sin <!--\; \; -->\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\prime }}{2}\sin <!--\; \; -->\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\prime }}{2}=\frac{\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\prime }-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }}{2}$$\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}={\frac {\cos \beta '-\cos \alpha '}{2}}$ , то есть

$\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\prime }=-<!--\; -\; -->2\sin <!--\; \; -->\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\prime }}{2}\sin <!--\; \; -->\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\prime }}{2}$$\cos \alpha '-\cos \beta '=-2\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}$     — опуская штрихи, получаем формулу (7.3).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично. Из формулы (2.3) следует:

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})(1-<!--\; -\; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\mathrm{tg}<!--\; \; -->(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}))=$$\operatorname {tg}\alpha +\operatorname {tg}\beta =\operatorname {tg}(\alpha +\beta )(1-\operatorname {tg}(\alpha )\operatorname {tg}(\beta ))=$ 

$=\frac{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}$ 

$=\frac{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$ , то есть

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\operatorname {tg}\alpha \pm \operatorname {tg}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \qquad$    — формула (7.4).

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}={360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}:<!--\; :\; -->$$\alpha +\beta +\gamma =360^{\circ }\colon$ 

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=4\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{2}$$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$  (7.6).

Решение простых тригонометрических уравненийПравить

• $\sin <!--\; \; -->x=a.$$\sin x=a.$ 

Если $|a|>1$$|a|>1$  — вещественных решений нет.

Если $|a|⩽<!--\; ⩽\; -->1$$|a|\leqslant 1$  — решением является число вида $x=(-<!--\; -\; -->1{)}^n\arcsin <!--\; \; -->a+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n,$$x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,$  где $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}.$$n\in \mathbb {Z} .$ 

• $\cos <!--\; \; -->x=a.$$\cos x=a.$ 

Если $|a|>1$$|a|>1$  — вещественных решений нет.

Если $|a|⩽<!--\; ⩽\; -->1$$|a|\leqslant 1$  — решением является число вида $x=\pm <!--\; \pm \; -->\arccos <!--\; \; -->a+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}.$$x=\pm \arccos a+2\pi n,~n\in \mathbb {Z} .$ 

• $\mathrm{tg}x=a.$$\operatorname {tg} \,x=a.$ 

Решением является число вида $x=\text{arctg}a+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}.$$x={\text{arctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .$ 

• $\mathrm{ctg}x=a.$$\operatorname {ctg} \,x=a.$ 

Решением является число вида $x=\text{arcctg}a+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}.$$x={\text{arcctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .$ 

Универсальная тригонометрическая подстановкаПравить

Основная статья: Универсальная тригонометрическая подстановка

Нижеприведённые тождества имеют смысл, только когда тангенс имеет смысл (то есть при $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n$$\alpha \neq \pi +2\pi n$ ).

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{2\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}{1+{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}{1+{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{2\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\operatorname {tg}\,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\mathrm{ctg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}{2\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\operatorname {ctg}\,\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sec <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{1+{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\sec \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\csc <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{1+{\mathrm{tg}}^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}{2\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\csc \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}$

Аналогичные соотношения имеют место и для котангенса ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n$$\alpha \neq 2\pi n$ ):

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{2\text{ctg}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}{1+{\text{ctg}}^2\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\sin \alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{1+{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{{\text{ctg}}^2\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->1}{{\text{ctg}}^2\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}+1}$$\cos \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}}$
$\text{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{2\text{ctg}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}{{\text{ctg}}^2\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->1}$${\text{tg}}~\alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}$	$\text{ctg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{{\text{ctg}}^2\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->1}{2\text{ctg}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$${\text{ctg}}~\alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sec <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{{\text{ctg}}^2\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}+1}{{\text{ctg}}^2\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->1}$$\sec \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}$	$\csc <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{1+{\text{ctg}}^2\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}{2\text{ctg}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}}$$\csc \alpha ={\frac {1+{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}$

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)Править

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

$a\sin <!--\; \; -->x+b\cos <!--\; \; -->x=\sqrt{a^2+b^2}\sin <!--\; \; -->(x+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}),$$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi ),$ 

где $a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},$$a,b\in \mathbb {R} ,$  $a$$a$  и $b$$b$  не равны нулю одновременно, $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

$\{\begin{array}{c}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\\ \cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.\end{array}$$\left\{{\begin{matrix}\sin \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\\\cos \varphi ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{matrix}}\right.$ 

Примечание. Из вышеприведённой системы при $a\ne <!--\; \ne \; -->0$$a\neq 0$  следует, что $\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{b}{a}$$\mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {b}{a}}$ , однако нельзя всегда считать, что $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\text{arctg}\frac{b}{a}$$\varphi ={\text{arctg}}~{\tfrac {b}{a}}$  (подробнее здесь^[en]). Нужно учитывать знаки $a$$a$  и $b,$$b,$  чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$$\varphi.$ 

Представление тригонометрических функций в комплексной формеПравить

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа $x$$x$  выполнено следующее равенство:

$e^{ix}=\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x,$$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ 

где $e$$e$  — основание натурального логарифма,

$i$$i$  — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции $\sin <!--\; \; -->x$$\sin x$  и $\cos <!--\; \; -->x$$\cos x$  следующим образом:

$\sin <!--\; \; -->x=\frac{e^{ix}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->ix}}{2i},\cos <!--\; \; -->x=\frac{e^{ix}+e^{-<!--\; -\; -->ix}}{2}.$$\sin x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{{ix}}+e^{{-ix}}}{2}}.$ 

Отсюда следует, что

$\mathrm{tg}x=-<!--\; -\; -->i\frac{e^{ix}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->ix}}{e^{ix}+e^{-<!--\; -\; -->ix}},\mathrm{ctg}x=i\frac{e^{ix}+e^{-<!--\; -\; -->ix}}{e^{ix}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->ix}},$$\operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},$ 

$\sec <!--\; \; -->x=\frac{2}{e^{ix}+e^{-<!--\; -\; -->ix}},\mathrm{cosec}x=\frac{2i}{e^{ix}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->ix}}.$$\sec x={\frac {2}{e^{{ix}}+e^{{-ix}}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec}\,x={\frac {2i}{e^{{ix}}-e^{{-ix}}}}.$ 

Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

См. такжеПравить

• Гиперболические функции
• Интегральный синус
• Интегральный косинус
• Комплексные числа
• Многочлены Чебышёва
• Обратные тригонометрические функции
• Редко используемые тригонометрические функции
• Решение треугольников
• Синус-верзус
• Сферическая тригонометрия
• Треугольник § Тригонометрические тождества только с углами
• Тригонометрические функции
• Тригонометрические функции от матрицы
• Тригонометрический ряд Фурье
• Функция Гудермана
• Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
• Эллиптические функции