Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера, что породило шуточное фольклорное правило: «В математике принято называть открытие именем второго человека, который его сделал — иначе пришлось бы всё называть именем Эйлера».

1,2-метровый рефлектор «Леонард Эйлер» обсерватории Ла-Силья (Чили)

ТеоремыПравить

• Теорема Эйлера в теории чисел — обобщение малой теоремы Ферма.
• Теорема вращения Эйлера — утверждение, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси.
• Теорема Эйлера в планиметрии — зависимость между радиусами вписанной и описанной окружностей треугольника.
• Теорема Эйлера о четырёхугольниках — связь между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями.
• Пентагональная теорема Эйлера о производящей функции для числа разбиений.
• Гипотеза Эйлера в теории чисел — утверждение, что для любого натурального числа $n>2$$n > 2$  никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы из $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$  натуральных чисел, возведённых в $n$$n$ -ю степень. Опровергнуто.
• Теорема Эйлера для многогранников — связь между числом вершин, рёбер и граней многогранника. Также имеет смысл для планарного графа.
• Теорема Эйлера для однородных функций — утверждение, что дифференцируемая функция $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_1,x_2,...,x_n)$  является однородной с порядком однородности $q$$q$ , тогда и только тогда, когда выполнено соотношение Эйлера: $\sum <!--\; \sum \; -->x_k{f}_{x_k}^{\prime }(x_1,x_2,...,x_n)=qf(x_1,x_2,...,x_n).$$\sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).$ 

УравненияПравить

• Уравнения Эйлера — Лагранжа — основные формулы вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов, зависящих от неизвестной функции и её производной.
• Уравнения Эйлера — Пуассона — обобщение уравнения Эйлера — Лагранжа на случай, когда функционал зависит от неизвестной функции и её производных выше первого порядка.
• Уравнения Эйлера (механика твёрдого тела) — описывают вращение твердого тела.
• Уравнение Эйлера (гидродинамика) — описывает движение идеальной (невязкой) сжимаемой жидкости или газа.
• Уравнение Коши — Эйлера — линейное дифференциальное уравнение определённого типа, допускающее явное решение.
• Эйлеровы точки либрации (коллинеарные точки).
• Уравнение Эйлера — Бернулли — описывает равновесие балки.

ФункцииПравить

• Функция Эйлера $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(n)$$\varphi (n)$  — количество натуральных чисел, не превосходящих $n$$n$  и взаимно простых с ним. *:$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(n)=n\underset{p\mid <!--\; \mid \; -->n}{\prod <!--\; \prod \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{1}{p}\right),n>1,$$\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right),\;\;n>1,$ 

где $p$$p$  — простое число и пробегает все значения, участвующие в разложении $n$$n$  на простые сомножители.

• Функция Эйлера — модулярная функция $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(q)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(1-<!--\; -\; -->q^k),|q|\le <!--\; \le \; -->1$$\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty(1-q^k), \; |q| \le 1$ . Является классическим примером, показывающим связь между комбинаторикой и комплексным анализом.

ТождестваПравить

• Тождество Эйлера в теории чисел
• Тождество Эйлера в комплексном анализе — частный случай формулы Эйлера, связывающий пять фундаментальных чисел математики.
• Тождество Эйлера о кватернионах, «тождество Эйлера о четырёх квадратах» (алгебра) — теорема о том, что произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.
• Тождество Эйлера в алгебре многочленов — соотношение

  $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}\equiv <!--\; \equiv \; -->kF$$\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\equiv kF$ ,

которое справедливо для любой алгебраической формы (однородного многочлена) $F(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$F(x_{1},\ldots ,x_{n})$  степени $k$$k$ .

ФормулыПравить

• Формула Эйлера (комплексный анализ) связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:

  $e^{ix}=\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x.$$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$ 

• Формула Эйлера в дифференциальной геометрии:

  ${\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_e={\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_1{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha$ ,

где ${\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_e$$\kappa_e$  — кривизна нормального сечения поверхности в направлении $e$$e$ , ${\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_1$$\kappa _{1}$  и ${\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_2$$\kappa _{2}$  — главные кривизны (с соответствующими главными направлениями $e_1$$e_{1}$  и $e_2$$e_{2}$ ), $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — угол между направлениями $e$$e$  и $e_1$$e_{1}$ .

• Формула Эйлера в кинематике связывает скорости двух точек твёрдого тела:

  ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_B={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_A+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}$${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}$ .

• Формула Эйлера (механика трения качения в витках): $F=f{e}^{k\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$F = f e^{k \alpha}$ , связывает зависимость силы трения от числа оборотов (витков); $F$$F$  — сила, против которой направлено наше усилие $f$$f$  (наприм., подъёмная сила кранов с наматывающимся тросом), $e$$e$  — основание натуральных логарифмов, $k$$k$  — коэффициент трения между верёвкой (тросом, швартовами, талями) и наматывающей поверхностью (цилиндром-сваей, фрикционным колесом, воротом, кабестаном), $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — «угол навивания», то есть отношение длины дуги, охваченной верёвкой (числа оборотов), к радиусу этой дуги (см. также радиан).
• Формула Эйлера для суммы первых $n$$n$  членов гармонического ряда.
• Формула Эйлера в теории графов, связывающая количество вершин, рёбер и граней планарного графа

  $|V(G)|-<!--\; -\; -->|E(G)|+|F(G)|=2.$$|V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2.$ 

• Формула Эйлера для треугольника — формула для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
• Формула Эйлера для четырёхугольника — выражение для расстояния между серединами диагоналей — его учетверённый квадрат равен сумме квадратов четырёх сторон четырёхугольника минус сумма квадратов двух его диагоналей. Как частный случай, из неё можно получить: тождество параллелограмма, длину медианы треугольника.
• Формула Эйлера для радиальных турбин и центробежных насосов

ИнтегралыПравить

• Бета-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) первого рода.
• Гамма-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) второго рода.
• Интеграл Эйлера — Пуассона (так называемый гауссов интеграл).

ЧислаПравить

• Постоянная Эйлера — Маскерони — предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа.
• Число e — основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число.
• Число Эйлера — безразмерный коэффициент, имеющий место в уравнениях Навье — Стокса, описывающий отношение между силами давления на единичный объём жидкости (или газа) и инерционными силами.
• Числа Эйлера I рода
• Удобное число Эйлера^[en]
• Счастливое число Эйлера
• Целое число Эйлера (целое число Эйзенштейна)

Прочие математические понятияПравить

• Лемма Лагранжа — Эйлера в теории цепных дробей — определение периода бесконечной цепной дроби.
• Эйлерова характеристика в алгебраической топологии — топологический инвариант.
• Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве.
• Многочлены Эйлера.
• Преобразование Эйлера — интегральное преобразование.
• Прямая Эйлера (геометрия треугольника) — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.
• Окружность Эйлера, «окружность девяти точек» — в геометрии треугольника окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника.
• Круги Эйлера — геометрическая схема для отображения отношения между подмножествами.
• Критерий Эйлера, определяющий, является ли целое число квадратичным вычетом по модулю простого числа.
• Эйлеров путь (теория графов) — путь в графе, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. О связанных понятиях: эйлеров цикл, эйлеров граф, полуэйлеров граф см. ту же статью.
• Эйлеров сплайн — периодический идеальный сплайн минимальной нормы.
• Эйлерова сила — в механике такая сила, которая при сжимании стержня вызовет потерю его устойчивости (продольный изгиб).
• Подстановки Эйлера — замены переменных, решающие некоторые виды интегралов.
• Группа Эйлера — мультипликативная группа кольца вычетов по модулю $n$$n$ , обозначается ${\mathbb{Z}}_n^{\times <!--\; \times \; -->}$$\mathbb {Z} _{n}^{\times }$  или $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n)$$\Gamma (n)$ .
• Спираль Эйлера — другое название клотоиды (спирали Корню).
• Метод Эйлера — численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
• Оператор Эйлера — дифференциальный оператор $x_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}+x_2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}+\dots <!--\; \dots \; -->+x_n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}$$x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}$ .

ПрочееПравить

 

Золотая медаль имени Леонарда Эйлера

• Эйлер — астероид главного пояса, открытый 29 августа 1973 года российским астрономом Тамарой Смирновой в Крымской астрофизической обсерватории.
• Эйлер — кратер ударного происхождения на видимой части Луны, диаметр 28 км.
• Олимпиада имени Леонарда Эйлера — неофициальная олимпиада, заменяющая региональный и заключительный этапы Всероссийской олимпиады школьников по математике для 8-х классов.
• Золотая медаль имени Леонарда Эйлера — награда, присуждаемая Академией наук СССР (впоследствии — Российской академии наук) за выдающиеся заслуги в математике и физике; с 1957 по 2022 год всего 8 награждённых.
• Медаль Эйлера — ежегодная награда за достижения по комбинаторике, ежегодно присуждаемая с 1993 года канадским Институтом комбинаторики и её приложений (англ. Institute of Combinatorics and its Applications).
• Медаль Эйлера — награда, присуждаемая Пермским государственным университетом за заслуги в физико-математическом образовании Пермского края.
• «Проект Эйлер» — проект в Интернете, объединяющий сотни тысяч любителей математики и программирования.
• Диск Эйлера — научная игрушка, используемая для изучения динамических систем.
• Международный математический институт имени Эйлера
• Эйлер^[en] — язык программирования, разработанный в 1965 году Никлаусом Виртом и Хельмутом Вебером, предшественник Паскаля.
• Euler^[en] — программный пакет для численных методов.
• EulerOS^[en] и OpenEuler — дистрибутивы Linux, разрабатываемые корпорацией Huawei.
• AMS Euler^[en] — шрифт, разработанный Херманом Цапфом^[en] при участии Дональда Кнута, широко используемый в документах на ΤΕΧ, в материалах Американского математического общества (AMS); впервые был использован в книге Кнута «Конкретная математика», посвящённой Эйлеру.