Уравнение Коши — Эйлера

В математике (дифференциальных уравнениях) уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения, приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.

Уравнение порядка nПравить

Общий вид уравнения :

$\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^k{y}^{(k)}(x)=f(x)$$\sum _{{k=0}}^{{n}}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{{(k)}}(x)}=f(x)$ .

Его частный случай :

$\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{x}^k{y}^{(k)}(x)=f(x)$$\sum _{{k=0}}^{{n}}{a_{k}x^{k}y^{{(k)}}(x)}=f(x)$ .

ПодстановкаПравить

Подстановка вида $(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=e^t$$\ (\alpha x+\beta )=e^{t}$  то есть $t=\ln <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$\ t=\ln(\alpha x+\beta )$  приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что $t_x^{\prime }=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$\ t_{x}'=\alpha (\alpha x+\beta )^{-1}$ , $t_{xx}^{″}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->2}$$\ t_{xx}''=-\alpha ^{2}(\alpha x+\beta )^{-2}$  и $t_{xxx}^{‴}=+2{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->3}$$\ t_{xxx}'''=+2\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}$ .
В соответствии с этим:

$y(t)=y(t(x))$$\ y(t)=y(t(x))$ 

откуда

$y_x^{\prime }(x)=y_t^{\prime }(t)t_x^{\prime }=y_t^{\prime }(t)\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$\ y_{x}'(x)=y_{t}'(t)t_{x}'=y_{t}'(t)\alpha (\alpha x+\beta )^{-1}$ 

таким образом

$(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})y_x^{\prime }(x)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{y}_t^{\prime }(t)$$\ (\alpha x+\beta )y_{x}'(x)=\alpha y_{t}'(t)$ 

Вычислим очередную производную сложной функции

$y_{xx}^{″}(x)=(y_x^{\prime }(x){)}_x^{\prime }=(y_t^{\prime }(t)t_x^{\prime }{)}_x^{\prime }=y_{tt}^{″}(t)t_x^{\prime }{t}_x^{\prime }+y_t^{\prime }(t)t_{xx}^{″}=y_{tt}^{″}(t){\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->2}+y_t^{\prime }(t)(-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2)(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->2}$$\ y_{xx}''(x)=(y_{x}'(x))_{x}'=(y_{t}'(t)t_{x}')_{x}'=y_{tt}''(t)t_{x}'t_{x}'+y_{t}'(t)t_{xx}''=y_{tt}''(t)\alpha ^{2}(\alpha x+\beta )^{-2}+y_{t}'(t)(-\alpha ^{2})(\alpha x+\beta )^{-2}$ ,

что приводит к

$(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^2{y}_{xx}^{″}(x)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2(y_{tt}^{″}(t)-<!--\; -\; -->y_t^{\prime }(t))$$\ (\alpha x+\beta )^{2}y_{xx}''(x)=\alpha ^{2}(y_{tt}''(t)-y_{t}'(t))$ .

и далее

$y_{xxx}^{‴}(x)=(y_{xx}^{″}(x){)}_x^{\prime }=(y_{tt}^{″}(t)(t_x^{\prime }{)}^2+y_t^{\prime }(t)t_{xx}^{″}{)}_x^{\prime }=y_{ttt}^{‴}(t)t_x^{\prime }(t_x^{\prime }{)}^2+y_{tt}^{″}(t)2t_x^{\prime }{t}_{xx}^{″}+y_{tt}^{″}(t)t_x^{\prime }{t}_{xx}^{″}+y_t^{\prime }(t)t_{xxx}^{‴}=$$\ y_{xxx}'''(x)=(y_{xx}''(x))_{x}'=(y_{tt}''(t)(t_{x}')^{2}+y_{t}'(t)t_{xx}'')_{x}'=y_{ttt}'''(t)t_{x}'(t_{x}')^{2}+y_{tt}''(t)2t_{x}'t_{xx}''+y_{tt}''(t)t_{x}'t_{xx}''+y_{t}'(t)t_{xxx}'''=$ 

$=y_{ttt}^{‴}(t)(t_x^{\prime }{)}^3+3y_{tt}^{″}(t)t_x^{\prime }{t}_{xx}^{″}+y_t^{\prime }(t)t_{xxx}^{‴}=y_{ttt}^{‴}(t){\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->3}-<!--\; -\; -->3y_{tt}^{″}(t){\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->3}+2y_t^{\prime }(t){\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->3}$$\ =y_{ttt}'''(t)(t_{x}')^{3}+3y_{tt}''(t)t_{x}'t_{xx}''+y_{t}'(t)t_{xxx}'''=y_{ttt}'''(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}-3y_{tt}''(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}+2y_{t}'(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}$ 

что, аналогично, приводит к

$(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^3{y}_{xxx}^{‴}(x)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3(y_{ttt}^{‴}(t)-<!--\; -\; -->3y_{tt}^{″}(t)+2y_t^{\prime }(t))$$\ (\alpha x+\beta )^{3}y_{xxx}'''(x)=\alpha ^{3}(y_{ttt}'''(t)-3y_{tt}''(t)+2y_{t}'(t))$ 

Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n

ПримерПравить

Дано неоднородное уравнение

$(2x-<!--\; -\; -->1{)}^3{y}^{‴}(x)+4(2x-<!--\; -\; -->1{)}^2{y}^{″}(x)-<!--\; -\; -->8(2x-<!--\; -\; -->1)y^{\prime }(x)=32\ln <!--\; \; -->(2x-<!--\; -\; -->1)$$\ (2x-1)^{3}y'''(x)+4(2x-1)^{2}y''(x)-8(2x-1)y'(x)=32\ln(2x-1)$ .

Определив подстановку $t=\ln <!--\; \; -->(2x-<!--\; -\; -->1)$$\ t=\ln(2x-1)$  $\left((2x-<!--\; -\; -->1)=e^t\right)$$\ \left((2x-1)=e^{t}\right)$ , приходим к уравнению

$8(y^{‴}(t)-<!--\; -\; -->3y^{″}(t)+2y^{\prime }(t))+4\cdot <!--\; \cdot \; -->4(y^{″}(t)-<!--\; -\; -->y^{\prime }(t))-<!--\; -\; -->8\cdot <!--\; \cdot \; -->2y^{\prime }(t)=32t$$\ 8(y'''(t)-3y''(t)+2y'(t))+4\cdot 4(y''(t)-y'(t))-8\cdot 2y'(t)=32t$ .

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

$y^{‴}(t)-<!--\; -\; -->y^{″}(t)-<!--\; -\; -->2y^{\prime }(t)=4t$$\ y'''(t)-y''(t)-2y'(t)=4t$ ,

решение которого имеет вид

$y(t)=c_1{e}^{-<!--\; -\; -->1t}+c_2{e}^{2t}+c_3+t-<!--\; -\; -->t^2$$\ y(t)=c_{1}e^{-1t}+c_{2}e^{2t}+c_{3}+t-t^{2}$ 

или в терминах $x$$\ x$ 

$y(x)=c_1(2x-<!--\; -\; -->1{)}^{-<!--\; -\; -->1}+c_2(2x-<!--\; -\; -->1{)}^2+c_3+ln(2x-<!--\; -\; -->1)-<!--\; -\; -->ln(2x-<!--\; -\; -->1{)}^2$$\ y(x)=c_{1}(2x-1)^{-1}+c_{2}(2x-1)^{2}+c_{3}+ln(2x-1)-ln(2x-1)^{2}$ 

Уравнение второго порядкаПравить

Общий вид уравнения :

$a_2(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^2{y}^{″}(x)+a_1(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})y^{\prime }(x)+a_{0}y(x)=f(x)$$\ a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}(\alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)$ .

Его частный случай :

$a_2{x}^2{y}^{″}(x)+a_{1}x{y}^{\prime }(x)+a_{0}y(x)=f(x)$$\ a_{2}x^{2}y''(x)+a_{1}xy'(x)+a_{0}y(x)=f(x)$ .

Подстановкой $(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=e^t$$\ (\alpha x+\beta )=e^{t}$  то есть $t=\ln <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$\ t=\ln(\alpha x+\beta )$ 
или, соответственно,

$x=e^t$$\ x=e^{t}$  то есть $t=\ln <!--\; \; -->x$$\ t=\ln x$ 

приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

$a_2{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2{y}^{″}(t)+a_1\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{y}^{\prime }(t)+a_{0}y(t)=f(e^t)$$\ a_{2}\alpha ^{2}y''(t)+a_{1}\alpha y'(t)+a_{0}y(t)=f(e^{t})$ .

или, соответственно,

$a_2{y}^{″}(t)+a_1{y}^{\prime }(t)+a_{0}y(t)=f(e^t)$$\ a_{2}y''(t)+a_{1}y'(t)+a_{0}y(t)=f(e^{t})$ .

ПримерПравить

Дано неоднородное уравнение

$x^2{y}^{″}(x)-<!--\; -\; -->2x{y}^{\prime }(x)+2y(x)=6x$$\ x^{2}y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=6x$ .

Определив подстановку $t=\ln <!--\; \; -->x$$\ t=\ln x$  ($x=e^t$$\ x=e^{t}$ ), приходим к уравнению

$(y^{″}(t)-<!--\; -\; -->y^{\prime }(t))-<!--\; -\; -->2y^{\prime }(t)+2y(t)=6e^t$$\ (y''(t)-y'(t))-2y'(t)+2y(t)=6e^{t}$ .

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

$y^{″}(t)-<!--\; -\; -->3y^{\prime }(t)+2y(t)=6e^t$$\ y''(t)-3y'(t)+2y(t)=6e^{t}$ ,

решение которого имеет вид

$y(t)=c_1{e}^{+1t}+c_2{e}^{+2t}-<!--\; -\; -->6t{e}^{+1t}$$\ y(t)=c_{1}e^{+1t}+c_{2}e^{+2t}-6te^{+1t}$ 

или в терминах $x$$\ x$ 

$y(x)=c_{1}x+c_2{x}^2-<!--\; -\; -->6x\ln <!--\; \; -->x$$\ y(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}-6x\ln x$ 

Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядкаПравить

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:

$x^2{y}^{″}(x)+px{y}^{\prime }(x)+qy(x)=0$$\ x^{2}y''(x)+pxy'(x)+qy(x)=0$ .

Его решениями являются функции вида:

$y(x)=x^r$$\ y(x)=x^{r}$ ,

где $r$$r$  — корни характеристического уравнения

$r^2+(p-<!--\; -\; -->1)r+q=0$$\ r^{2}+(p-1)r+q=0$ ,

которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут $x^r$$\ x^{r}$  и $\ln <!--\; \; -->(x)x^r$$\ \ln(x)x^{r}$ 

ПримерПравить

Дано однородное уравнение

$x^2{y}^{″}(x)-<!--\; -\; -->2x{y}^{\prime }(x)+2y(x)=0$$\ x^{2}y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=0$ .

Характеристическое уравнение которого имеет вид

$r^2+(-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->1)r+2=0\iff <!--\; \iff \; -->r^2-<!--\; -\; -->3r+2=0$$\ r^{2}+(-2-1)r+2=0\Leftrightarrow r^{2}-3r+2=0$ ,

с решениями $r_1=1$$\ r_{1}=1$ , $r_2=2$$\ r_{2}=2$ .
Тогда общее решение однородного уравнения

$y(x)=c_{1}x+c_2{x}^2$$\ y(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}$