Гауссов интеграл

Не следует путать с интегралом Пуассона, выражающим гармоническую функцию внутри шара (круга) через её значения на его границе.

Га́уссов интегра́л (также интегра́л Э́йлера — Пуассо́на или интегра́л Пуассо́на) — интеграл от гауссовой функции:

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}dx=\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}.$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

ДоказательстваПравить

Доказательство

Рассмотрим функцию $(1+t)e^{-<!--\; -\; -->t}$$(1+t)e^{-t}$  . Она ограничена сверху единицей на интервале $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(-\infty ;+\infty )$ , а снизу нулем на интервале $[-<!--\; -\; -->1;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$[-1;+\infty )$  . В частности, полагая $t=\pm <!--\; \pm \; -->x^2$$t=\pm x^{2}$ , получим при $x\ne 0$$x\not =0$  : $\left\{{\begin{matrix}(1-x^{2})e^{x^{2}}<1\\(1+x^{2})e^{-x^{2}}<1\end{matrix}}\right.$  Ограничим в первом неравенстве изменение $x$$x$  промежутком $(0,1)$$(0,1)$ , а во втором — промежутком $(0;\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(0;\infty )$ , возведём оба неравенства в степень $n(n\in <!--\; \in \; -->N)$$n(n\in N)$ , так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим: $\left\{{\begin{matrix}(1-x^{2})^{n}<e^{-nx^{2}}\\0<x<1\end{matrix}}\right.$  и $\left\{{\begin{matrix}e^{-nx^{2}}<{\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}\\x>0\end{matrix}}\right.$  Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим $\int \limits _{0}^{1}(1-x^{2})^{n}\,dx<\int \limits _{0}^{1}e^{-nx^{2}}\,dx<\int \limits _{0}^{\infty }e^{-nx^{2}}\,dx<\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx$  При замене $u=x\sqrt{n}$$u=x{\sqrt {n}}$  получим $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->n{x}^2}dx=\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot <!--\; \cdot \; -->K,K=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}dx.$$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-nx^{2}}\,dx={\frac {1}{\sqrt {n}}}\cdot K,\;K=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.$  Полагая $x=\cos <!--\; \; -->t$$x=\cos t$  получим, соответственно, $\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}(1-<!--\; -\; -->x^2{)}^{n}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}{\int <!--\; \int \; -->}}{\sin }^{2n+1}<!--\; \; -->tdt=\frac{2n!!}{(2n+1)!!}$$\int \limits _{0}^{1}(1-x^{2})^{n}\,dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}t\,dt={\frac {2n!!}{(2n+1)!!}}$  Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной $t$$t$  от 0 до $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\pi /2$  величина $\cos <!--\; \; -->t$$\cos t$  меняется в пределах от 0 до 1. И заменяя $x=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}t$$x=\mathrm {ctg} \,t$ , получим $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{1}{(1+x^2{)}^n}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}{\int <!--\; \int \; -->}}{\sin }^{2n-<!--\; -\; -->2}<!--\; \; -->tdt=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(2n-<!--\; -\; -->3)!!}{2(2n-<!--\; -\; -->2)!!}$$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n-2}t\,dt={\frac {\pi (2n-3)!!}{2(2n-2)!!}}$  Здесь с пределами интегрирования аналогично: $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}t$$\mathrm {ctg} \,t$  изменяется от бесконечности до нуля при изменении переменной $t$$t$  от 0 до $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\pi /2$  . Два последних интеграла могут быть найдены следующим образом: дважды интегрируя их по частям, мы получим рекуррентные соотношения, разрешая которые придем к результатам в правой части. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале ${\sqrt {n}}\cdot {\frac {2n!!}{(2n+1)!!}}<K<{\sqrt {n}}\cdot {\frac {\pi (2n-3)!!}{2(2n-2)!!}}$  Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до ${\frac {n}{2n+1}}\cdot {\frac {(2n!!)^{2}}{(2n+1)((2n-1)!!)^{2}}}<K^{2}<{\frac {n}{2n-1}}\cdot {\frac {(2n-1)((2n-3)!!)^{2}}{((2n-2)!!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi ^{2}}{4}}$  Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/4$$\pi /4$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow \infty$  Следовательно, $K^2=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}⟺<!--\; ⟺\; -->K=\frac{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{2}$$K^{2}={\frac {\pi }{4}}\Longleftrightarrow K={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$  В силу чётности функции $e^{-<!--\; -\; -->x^2}$$e^{-x^{2}}$ , получаем, что $\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}dx=\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}.$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Доказательство 2

Гауссов интеграл может быть представлен как $I=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}\mathrm{d}x=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->y^2}\mathrm{d}y$$I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,{\rm {d}}y$ . Рассмотрим квадрат этого интеграла $I^2$$I^{2}$ . Вводя двумерные декартовы координаты, переходя от них к полярным координатам $(x=r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$(x=r\cos \phi$ , $y=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$y=r\sin \phi$ , $r^2=x^2+y^2)$$r^{2}=x^{2}+y^{2})$  и интегрируя по $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  (от 0 до $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ ), получаем: $I^2=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->r^2}r\mathrm{d}r=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->r^2}r\mathrm{d}r=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->r^2}\mathrm{d}{r}^2=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$I^{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,e^{-x^{2}-y^{2}}{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\;{\rm {d}}r=2\pi \int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\;{\rm {d}}r=\pi \int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}\;{\rm {d}}r^{2}=\pi .$  Следовательно, $I=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x={\sqrt {\pi }}$ .

Доказательство 3

Гауссов интеграл может быть представлен как $I=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}dx=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->y^2}dy=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->z^2}dz$$I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{e^{-{x^{2}}}}dx}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{e^{-{y^{2}}}}dy}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{e^{-{z^{2}}}}dz}$ . Рассмотрим куб этого интеграла $I^3$$I^{3}$ . Вводя трёхмерные декартовы координаты, переходя от них к сферическим координатам: $\{\begin{array}{l}x=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\\ y=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\\ z=r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\\ r^2=x^2+y^2+z^2\end{array}$$\left\{{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \cos \varphi \\y=r\sin \theta \sin \varphi \\z=r\cos \theta \\{r^{2}}={x^{2}}+{y^{2}}+{z^{2}}\end{array}}\right.$ , якобиан преобразования равен $J=r^2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$J={r^{2}}\sin \theta$ , и интегрируя по $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  (от $0$$0$  до $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ ), по $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  (от $0$$0$  до $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ ), по $r$$r$  (от $0$$0$  до $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ ), получаем: $\begin{array}{l}{I}^3=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->y^2-<!--\; -\; -->z^2}dxdydz=\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->r^2}Jdrd\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->r^2}{r}^{2}dr=\\ =2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left((-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})-<!--\; -\; -->(-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->0)\right)\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}rd{e}^{-<!--\; -\; -->r^2}\right)=-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left({\left(r{e}^{-<!--\; -\; -->r^2}\right)|}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}-<!--\; -\; -->\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->r^2}dr\right)=-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(0-<!--\; -\; -->\frac{I}{2})=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}I\end{array}$${\begin{array}{l}{I^{3}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{e^{-{x^{2}}-{y^{2}}-{z^{2}}}}dx}dy}dz}=\int \limits _{0}^{2\pi }{\int \limits _{0}^{\pi }{\int \limits _{0}^{\infty }{{e^{-{r^{2}}}}Jdr}d\theta }d\varphi }=\int \limits _{0}^{2\pi }{d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }{\sin \theta d\theta \int \limits _{0}^{\infty }{{e^{-{r^{2}}}}{r^{2}}dr}}}=\\=2\pi \left({(-\cos \pi )-(-\cos 0)}\right)\left({-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{rd{e^{-{r^{2}}}}}}\right)=-2\pi \left({\left.{\left({r{e^{-{r^{2}}}}}\right)}\right|_{0}^{\infty }-\int \limits _{0}^{\infty }{{e^{-{r^{2}}}}dr}}\right)=-2\pi (0-{\frac {I}{2}})=\pi I\end{array}}$  Следовательно, $I=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}dx=\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{e^{-{x^{2}}}}dx}={\sqrt {\pi }}$ .

ВариацииПравить

Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2/{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2}dx=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\alpha e^{-x^{2}/\beta ^{2}}\,dx=\alpha \beta {\sqrt {\pi }}$ 

и многомерные гауссовы интегралы

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->(x^2/{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1^2+y^2/{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2^2+z^2/{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_3^2+\dots <!--\; \dots \; -->)}dxdydz\cdots <!--\; \cdots \; -->=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_3\dots <!--\; \dots \; -->\sqrt{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^n}$$\int \alpha e^{-(x^{2}/\beta _{1}^{2}+y^{2}/\beta _{2}^{2}+z^{2}/\beta _{3}^{2}+\dots )}\,dxdydz\dots =\alpha \beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}\dots {\sqrt {\pi ^{n}}}$ 

элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).

То же относится к многомерным интегралам вида

$\int <!--\; \int \; -->e^{x^{T}Mx}d{x}_{1}d{x}_{2}d{x}_3\dots <!--\; \dots \; -->d{x}_n=\sqrt{\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^n}{|det(M)|}}$$\int e^{x^{T}Mx}\,dx_{1}dx_{2}dx_{3}\dots dx_{n}={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{|\det(M)|}}}$ 

где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.

Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразования от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->a{x}^2+bx+c}dx=\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{a}}{e}^{\frac{b^2}{4a}+c},$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c},$ 

В физикеПравить

Вычисление этого интеграла и его различных вариаций служит основным содержанием многих тем современной теоретической физики.

ИсторияПравить

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

См. такжеПравить

• Функция ошибок

СсылкиПравить

• Morozov, A.; Shakirove, Sh. (2009). “Introduction to integral discriminants”. Journal of High Energy Physics. 2009 (12): 002. arXiv:0903.2595. Bibcode:2009JHEP...12..002M. DOI:10.1088/1126-6708/2009/12/002.