Теорема Эйлера о треугольнике

Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году. Однако тот же результат был получен ранее Уильямом Чапплом^[en] в 1746 году.

ФормулировкаПравить

Расстояние $d$$d$  между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

$d^2=R^2-<!--\; -\; -->2Rr.$$d^{2}=R^{2}-2Rr.$ 

где $R$$R$  — радиус описанной, $r$$r$  — радиус вписанной окружности.

ЗамечанияПравить

• Приведённую формулу можно переписать следующим образом

  $\frac{1}{R-<!--\; -\; -->d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}$${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}$ .

или

$(R-<!--\; -\; -->r{)}^2=d^2+r^2,$$(R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},$ 

• Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера

  $R\ge <!--\; \ge \; -->2r$$R\geq 2r$ .

  • Существует более сильная форма этого неравенства, а именно:

    $\frac{R}{r}\ge <!--\; \ge \; -->\frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge <!--\; \ge \; -->\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-<!--\; -\; -->1\ge <!--\; \ge \; -->\frac{2}{3}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge <!--\; \ge \; -->2,$${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,$ 

где $a,b,c$$a,b,c$  — стороны треугольника.

• Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

ДоказательствоПравить

 

Пусть $O$$O$  — центр описанной окружности треугольника $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}ABC$$\Delta ABC$ , а $I$$I$  — центр вписанной окружности. Если луч $AI$$AI$  пересекает описанную окружность в точке $L$$L$ , то $L$$L$  является средней точкой дуги $BC$$BC$ . Проведём луч $LO$$LO$  и обозначим его точку пересечения с описанной окружностью как $M$$M$ . Тогда $LM$$LM$  будет диаметром описанной окружности. Из точки $I$$I$  опустим перпендикуляр $ID$$ID$  на $AB.$$AB.$  Тогда $ID=r.$$ID=r.$  Запишем формулу Эйлера немного в другом виде

$R^2-<!--\; -\; -->d^2=2Rr.$$R^{2}-d^{2}=2Rr.$ 

Можно заметить, что слева стоит степень точки $I$$I$  относительно описанной окружности (если быть точным, то минус степень точки). То есть, достаточно доказать равенство $LI\cdot <!--\; \cdot \; -->IA=2Rr$$LI\cdot IA=2Rr$ . По лемме о трезубце $LI=LB,$$LI=LB,$  значит, достаточно доказать, что $LB\cdot <!--\; \cdot \; -->IA=2Rr$$LB\cdot IA=2Rr$ . Теперь заметим, что $2R=LM$$2R=LM$  и $r=ID,$$r=ID,$  то есть, требуемое равенство можно переписать в виде $LB\cdot <!--\; \cdot \; -->IA=LM\cdot <!--\; \cdot \; -->ID.$$LB\cdot IA=LM\cdot ID.$  Перепишем его ещё немного: $LB/LM=ID/IA$$LB/LM=ID/IA$ . Это равенство следует из подобия треугольников $\mathrm{△<!--\; △\; -->}AID$$\triangle AID$  и $\mathrm{△<!--\; △\; -->}MLB$$\triangle MLB$ . В самом деле, углы $B$$B$  и $D$$D$  у этих треугольников прямые, а углы $A$$A$  и $M$$M$  равны, потому что оба опираются на дугу $BL$$BL$  (более того, отношение $LB/LM=ID/IA$$LB/LM=ID/IA$  равно синусу угла $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BAL$$\angle BAL$ ).

Вариации и обобщенияПравить

Для центра вневписанной окружностиПравить

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

$(R+r_{out}{)}^2=d_{out}^2+r_{out}^2,$$(R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},$ 

где $r_{out}$$r_{out}$  — радиус одной из вневписанных окружностей, а $d_{out}$$d_{out}$  — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности.

Для многоугольниковПравить

 

Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О.

• Для радиусов $R$$R$  и $r$$r$  соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния $d=x$$d=x$  между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

  $\frac{1}{(R+d{)}^2}+\frac{1}{(R-<!--\; -\; -->d{)}^2}=\frac{1}{r^2}$${\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(R-d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$ ,

или эквивалентно,

$d^2=R^2+r^2-<!--\; -\; -->r\sqrt{4R^2+r^2}$$d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}$ 

• Это соотношение называют Теоремой Фусса^[en]. Оно получено Николаем Ивановичем Фуссом в 1792 году.

• Теорема Кэли о цепи Понселе обобщает теорему Эйлера на вписанно-описанные $n$$n$ -угольники.

См. такжеПравить

• Поризм Понселе

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Euler Triangle Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.