Формула Эйлера

Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл.

Геометрический смысл формулы Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа $x$$x$ выполнено следующее равенство:

$e^{ix}=\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

где $e$$e$ — одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой: $e=\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$$e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$,

$i$$i$ — мнимая единица.

ИсторияПравить

Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид:

$\ln <!--\; \; -->(\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x)=ix$$\ln(\cos x+i\sin x)=ix$ .

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum) (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у К. Весселя.

Производные формулыПравить

При помощи формулы Эйлера можно определить функции $\sin$$\sin$  и $\cos$$\cos$  следующим образом:

$\sin <!--\; \; -->x=\frac{e^{ix}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->ix}}{2i}$$\sin x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}}$ ,

$\cos <!--\; \; -->x=\frac{e^{ix}+e^{-<!--\; -\; -->ix}}{2}$${\textstyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$ .

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть $x=iy$$x=iy$ , тогда:

$\sin <!--\; \; -->iy=\frac{e^{-<!--\; -\; -->y}-<!--\; -\; -->e^y}{2i}=i\mathrm{s}\mathrm{h}y$$\sin iy={\frac {e^{{-y}}-e^{y}}{2i}}=i{\mathop {{\mathrm {sh}}}}\,y$ ,

$\cos <!--\; \; -->iy=\frac{e^{-<!--\; -\; -->y}+e^y}{2}=\mathrm{c}\mathrm{h}y$$\cos iy={\frac {e^{{-y}}+e^{y}}{2}}={\mathop {{\mathrm {ch}}}}\,y$ .

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

$e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}+1=0$$e^{{i\pi }}+1=0$ 

является частным случаем формулы Эйлера при $x=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$x=\pi$ .

Применение в теории чиселПравить

Основная статья: Тригонометрическая сумма

В аналитической теории чисел часто рассматриваются специальные суммы вида $\underset{x\in <!--\; \in \; -->X}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}if(x)}$$\sum \limits _{x\in X}{e^{2\pi if(x)}}$ , где $X$$X$  — некоторое множество рассматриваемых объектов, а $f:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\ X\to {\mathbb {R} }$  — функция, отражающая изучаемые свойства объектов.

Для теории чисел, изучающей целые числа, имеют значение прежде всего выводимые из формулы Эйлера индикаторные тождества, касающиеся произвольного целого числа $n$$n$ .

$\sum \limits _{k=1}^{p}{e^{2\pi {\frac {nk}{p}}i}}=p[p|n]=\left\{{\begin{matrix}p,&n\equiv 0{\pmod {p}}\\0,&n\not \equiv 0{\pmod {p}}\end{matrix}}\right.$ 

$\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi n\alpha i}}=[n=0]=\left\{{\begin{matrix}1,&n=0\\0,&n\not =0\end{matrix}}\right.$ 

Применение в комплексном анализеПравить

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: $x=a+ib=|x|(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=|x|e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{{i\varphi }}$ .

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: $x=|x|e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$x=|x|e^{{i\varphi }}$ , $x^n=|x{|}^n{e}^{ni\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$x^{n}=|x|^{n}e^{{ni\varphi }}$ . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа $x$$x$  в степень $n$$n$  его расстояние до центра возводится в степень $n$$n$ , а угол поворота относительно оси $OX$$OX$  увеличивается в $n$$n$  раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых $n$$n$ , но и для вещественных. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.

Взаимосвязь с тригонометриейПравить

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

$\cos <!--\; \; -->x=\mathrm{R}\mathrm{e}\left(e^{ix}\right)=\frac{e^{ix}+e^{-<!--\; -\; -->ix}}{2}$$\cos x=\mathrm {Re} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}$ 

$\sin <!--\; \; -->x=\mathrm{I}\mathrm{m}\left(e^{ix}\right)=\frac{e^{ix}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->ix}}{2i}.$${\textstyle \sin x=\mathrm {Im} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}$ 

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:

$e^{ix}=\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x$$e^{{ix}}=\cos x+i\sin x\;$ 

$e^{-<!--\; -\; -->ix}=\cos <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)+i\sin <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=\cos <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->i\sin <!--\; \; -->x$${\textstyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;}$ 

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

$\cos <!--\; \; -->(iy)=\frac{e^{-<!--\; -\; -->y}+e^y}{2}=\cosh <!--\; \; -->(y)$$\cos(iy)={e^{{-y}}+e^{{y}} \over 2}=\cosh(y)$ 

$\sin <!--\; \; -->(iy)=\frac{e^{-<!--\; -\; -->y}-<!--\; -\; -->e^y}{2i}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{i}\frac{e^y-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->y}}{2}=i\sinh <!--\; \; -->(y).$$\sin(iy)={e^{{-y}}-e^{{y}} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{{y}}-e^{{-y}} \over 2}=i\sinh(y).$ 

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:

${\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}{2}}\cdot {\frac {(e^{{iy}}+e^{{-iy}})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{{i(x+y)}}+e^{{i(x-y)}}+e^{{i(-x+y)}}+e^{{i(-x-y)}}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {{\frac {e^{{i(x+y)}}+e^{{-i(x+y)}}}{2}}}_{{\cos(x+y)}}+\underbrace {{\frac {e^{{i(x-y)}}+e^{{-i(x-y)}}}{2}}}_{{\cos(x-y)}}\right].\end{aligned}}$ 

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:

${\begin{aligned}\cos(nx)&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot (e^{{ix}}+e^{{-ix}}-e^{{-ix}})\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot \underbrace {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}_{{2\cos(x)}}-e^{{i(n-2)x}}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}$ 

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).

ДоказательствоПравить

Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием ряда Маклорена. Разложим функцию $e^{ix}$$e^{{ix}}$  в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 (в ряд Маклорена) по степеням $x$$x$ . Получим:

$e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\dots <!--\; \dots \; -->=\left(1-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-<!--\; -\; -->\frac{x^6}{6!}+\dots <!--\; \dots \; -->\right)+i\left(\frac{x}{1!}-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-<!--\; -\; -->\frac{x^7}{7!}+\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$e^{{ix}}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$ 

Но

$1-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-<!--\; -\; -->\frac{x^6}{6!}+\dots <!--\; \dots \; -->=\cos <!--\; \; -->x$$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x$ 

$\frac{x}{1!}-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-<!--\; -\; -->\frac{x^7}{7!}+\dots <!--\; \dots \; -->=\sin <!--\; \; -->x$${\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x$ 

Поэтому $e^{ix}=\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ , что и требовалось доказать.

Наглядная демонстрацияПравить

Известно, что $e^x=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ . Нижеследующие изображения иллюстрируют, что предел $e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{n}\right)}^n$$e^{i\varphi }=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {i\varphi }{n}}\right)^{n}$  равен точке, находящейся на единичной окружности, и длина дуги от этой точки до точки 1 равняется $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ . Это, в частности, связано с тем, что $\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\sin <!--\; \; -->x}{x}=1$$\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ .

•  

  n=1

•  

  n=2

•  

  n=3

•  

  n=4

•  

  n=5

•  

  n=6

•  

  n=8

•  

  n=16

Процесс изменения $e^{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}i}$$e^{\varphi i}$  при изменении $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  можно также наглядно продемонстрировать через производную. Общеизвестно, что ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$$\left({e^{x}}\right)'=e^{x}$  и ${\left(e^{f(x)}\right)}^{\prime }=f^{\prime }(x)e^{f(x)}$$\left({e^{f(x)}}\right)'=f'(x)e^{f(x)}$ . Этот же факт остаётся верным и для комплексного значения функции. Рассматривая функцию $f(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=e^{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}i}$$f(\varphi )=e^{\varphi i}$ , получим $f^{\prime }(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=if(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$f'(\varphi )=if(\varphi )$ . Поскольку в геометрическом представлении комплексных чисел умножение на $i$$i$  аналогично повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции $f(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=e^{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}i}$$f(\varphi )=e^{\varphi i}$  и её производной будет аналогично чертежу действия центростремительной силы, для которого известен физический смысл.

Показательная форма комплексного числаПравить

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число $z$$z$  в тригонометрической форме имеет вид $z=r(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$  . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

$z=r{e}^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$z=re^{{i\varphi }}$ 

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь $r=|z|$$r=|z|$  , $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\arg <!--\; \; -->z$$\varphi =\arg z$ .

ЛитератураПравить

• Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. Архивная копия от 25 сентября 2020 на Wayback Machine
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
• Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 530 с. Архивная копия от 7 июня 2015 на Wayback Machine