Антиэрмитова матрица

Антиэрмитова матрица (косоэрмитова матрица) — квадратная матрица $A$$A$, эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:

$A^{\ast <!--\; \ast \; -->}=-<!--\; -\; -->A$$A^* = -A$,

или поэлементно:

$a_{i,j}=-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_{j,i}}$$a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}$,

где через $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}$$\overline{x}$ обозначено комплексное сопряжение числа $x$$x$.

СвойстваПравить

Матрица $B$$B$  эрмитова тогда и только тогда, когда матрица $iB$$iB$  антиэрмитова. Отсюда следует, что если $A$$A$  — антиэрмитова, то матрицы $\pm <!--\; \pm \; -->iA$$\pm iA$  эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица $A$$A$  может быть представлена в виде $A=iB$$A=iB$ , где $B$$B$  — эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.

Матрица $A$$A$  антиэрмитова тогда и только тогда, когда $X^{\ast <!--\; \ast \; -->}{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}Y=-<!--\; -\; -->X^{\ast <!--\; \ast \; -->}AY$$X^{*}A^{*}Y=-X^{*}AY$  для любых векторов $X$$X$  и $Y$$Y$  (форма $X^{\ast <!--\; \ast \; -->}AY$$X^{*}AY$  — антиэрмитова).

Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).

Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.

Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если $A$$A$  — антиэрмитова, то $A^2$$A^{2}$  — эрмитова.

Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.

Любую квадратную матрицу можно представить как сумму эрмитовой и антиэрмитовой $M=M_h+M_a$$M=M_{h}+M_{a}$ , где:

$M_h=\frac{1}{2}(M+M^{\ast <!--\; \ast \; -->})$$M_{h}={\frac {1}{2}}(M+M^{*})$  — эрмитова,

$M_a=\frac{1}{2}(M-<!--\; -\; -->M^{\ast <!--\; \ast \; -->})$$M_{a}={\frac {1}{2}}(M-M^{*})$  — антиэрмитова.

Матрица $A$$A$  антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента $e^A$$e^{A}$  унитарна.

Антиэрмитовы матрицы образуют алгебру Ли $\mathfrak{u}(n)$${\mathfrak {u}}(n)$  группы Ли $U(n)$$U(n)$ .

Для любого комплексного числа $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  такого, что $|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|=1$$|\lambda |=1$ , существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами $U$$U$ , не имеющих собственных чисел равных $a$$a$ , и антиэрмитовыми матрицами $A$$A$ , задаваемое формулами Кэли:

$U=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(A-<!--\; -\; -->I)(A+I{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$U=\lambda (A-I)(A+I)^{-1}$ ,

$A=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(aI+U)(aI-<!--\; -\; -->U{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$A=\lambda (aI+U)(aI-U)^{-1}$ ,

где $I$$I$  — единичная матрица.

В частности, при $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=-<!--\; -\; -->1$$\lambda =-1$ :

$U=(I-<!--\; -\; -->A)(I+A{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$U=(I-A)(I+A)^{-1}$ ,

$A=(I-<!--\; -\; -->U)(I+U{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$A=(I-U)(I+U)^{-1}$ .

СсылкиПравить

• Brookes, M., «The Matrix Reference Manual», Imperial College, London, UK