Положительно определённая матрица

В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).

ФормулировкиПравить

Пусть $M$$M$  будет эрмитовой матрицей размерности $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ . Обозначим транспонированный вектор $a$$a$  посредством $a^T$$a^{T}$ , а сопряжённый транспонированный вектор — посредством $a^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$a^{*}$ .

Матрица $M$$M$  является положительно определённой, если она удовлетворяет любому из следующих равнозначных критериев:

1.	Для всех ненулевых комплексных векторов $z\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^n$$z \in \mathbb{C}^n$ , ${\mathbf{\text{z}}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}M\mathbf{\text{z}}>0.$$\textbf{z}^{*} M \textbf{z} > 0.$  Отметим, что величина $z^{\ast <!--\; \ast \; -->}Mz$$z^{*} M z$  всегда вещественна, поскольку $M$$M$  — эрмитова матрица.
2.	Все собственные значения $M$$M$ , ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i,i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$\lambda_i, i = 1, 2, \dots, n$ , положительны. Любая эрмитова матрица по теореме о спектральном разложении может быть представлена как вещественная диагональная матрица $D$$D$ , переведённая в другую систему координат (то есть $M=P^{-<!--\; -\; -->1}DP$$M = P^{-1}DP$ , где $P$$P$  — унитарная матрица, строками которой являются ортонормальные собственные векторы $M$$M$ , образующие базис). По этому определению $M$$M$  — положительно определённая матрица, если все элементы главной диагонали $D$$D$  (или, другими словами, собственные значения $M$$M$ ) положительны. То есть в базисе, состоящем из собственных векторов $M$$M$ , действие $M$$M$  на вектор $z\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^n$$z \in \mathbb{C}^n$  равносильно покомпонентному умножению $z$$z$  на положительный вектор.
3.	Полуторалинейная форма $⟨<!--\; ⟨\; -->\mathbf{\text{x}},\mathbf{\text{y}}⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathbf{\text{x}}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}M\mathbf{\text{y}}$$\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$  определяет скалярное произведение в ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^n$ . Обобщая сказанное, любое скалярное произведение в ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^n$  образуется из эрмитовой положительно определённой матрицы.
4.	$M$$M$  — матрица Грама, образованная из множества линейно независимых векторов ${\mathbf{\text{x}}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{\text{x}}}_n\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^k$$\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k$  для какого-то $k$$k$ . Другими словами, элементы $M$$M$  определены следующим образом $M_{ij}=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{\text{x}}}_i,{\mathbf{\text{x}}}_j⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathbf{\text{x}}}_i^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathbf{\text{x}}}_j.$$M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{*} \textbf{x}_j.$  Таким образом, $M=A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A$$M = A^{*}A$ , где $A$$A$  инъективная, но не обязательно квадратная матрица.
5.	Определители всех угловых миноров матриц положительны (критерий Сильвестра). В соответствии с этим критерием у положительно полуопределённых матриц все угловые миноры неотрицательны, что, тем не менее, не является достаточным условием для положительной полуопределённости матрицы, как видно из следующего примера $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$

Для вещественных симметричных матриц в вышеприведённых свойствах пространство ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^n$  может быть заменено на ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , а сопряжённые транспонированные векторы на транспонированные.

Квадратичные формыПравить

Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть $K$$K$  будет полем вещественных ($\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ ) или комплексных ($\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ ) чисел, а $\mathbb{V}$$\mathbb{V}$  будет векторным пространством над $K$$K$ . Эрмитова форма

$B:V\times <!--\; \times \; -->V\to <!--\; \to \; -->K$$B : V \times V \rightarrow K$ 

является билинейным отображением, притом числом, сопряженным $B\left(x,y\right)$$B\left(x, y\right)$ , будет $B\left(y,x\right)$$B\left(y, x\right)$ . Такая функция $B$$B$  называется положительно определённой, когда $B\left(x,x\right)>0$$B\left(x, x\right) > 0$  для любого ненулевого $x\in <!--\; \in \; -->V$$x \in V$ .

Отрицательно определённая, полуопределённая и неопределённая матрицыПравить

Эрмитова матрица $M$$M$  размерности $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$  будет называться отрицательно определённой, если

$x^{*}Mx<0$ 

для всех ненулевых $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$  (или, эквивалентным образом, для всех ненулевых $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^n$$x \in \mathbb{C}^n$ ).

$M$$M$  будет называться положительно полуопределённой (или неотрицательно определённой), если

$x^{\ast <!--\; \ast \; -->}Mx\ge <!--\; \ge \; -->0$$x^{*} M x \geq 0$ 

для всех $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$  (или, эквивалентным образом, для всех ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^n$ ).

$M$$M$  будет называться отрицательно полуопределённой (или неположительно определённой), если

$x^{\ast <!--\; \ast \; -->}Mx\le <!--\; \le \; -->0$$x^{*} M x \leq 0$ 

для всех $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$  (или, эквивалентным образом, для всех ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^n$ ).

Таким образом, матрица будет отрицательно определённой, если все её собственные значения отрицательны, положительно полуопределённой, если все её собственные значения неотрицательны, и отрицательно полуопределённой, если все её собственные значения неположительны.

Матрица $M$$M$  будет положительно полуопределённой тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама какого-нибудь множества векторов. В отличие от положительно определённой матрицы данные векторы не обязательно линейно независимы.

Для любой матрицы $A$$A$  выполняется следующее: $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A$$A^{*}A$  — положительно полуопределённая, а $\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A\right)$$\operatorname{rank}\left(A\right) = \operatorname{rank}\left(A^{*}A\right)$ . Обратное утверждение также верно: любая положительно полуопределённая матрица $M$$M$  может быть выражена как $M=A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A$$M = A^{*}A$  (разложение Холецкого).

Эрмитова матрица не являющаяся ни положительно, ни отрицательно полуопределённой называется неопределённой.

Дополнительные свойстваПравить

Введём обозначение $M⪰<!--\; ⪰\; -->0$$M \succeq 0$  для положительно полуопределённых матриц и $M\succ <!--\; \succ \; -->0$$M \succ 0$  — для положительно определённых матриц.

Для произвольных квадратных матриц $M,N$$M, N$  будем писать $M⪰<!--\; ⪰\; -->N$$M \succeq N$ , если $M-<!--\; -\; -->N⪰<!--\; ⪰\; -->0$$M - N \succeq 0$ , то есть $M-<!--\; -\; -->N$$M - N$  положительно полуопределённая матрица. Таким образом, отношение $⪰<!--\; ⪰\; -->$$\succeq$  определяет частичный порядок на множестве квадратных матриц. Подобным образом можно определить отношение полного порядка $M\succ <!--\; \succ \; -->N$$M \succ N$ .

1.	Любая положительно определённая матрица обратима, а её обратная матрица также положительно определённая. Если $M⪰<!--\; ⪰\; -->N\succ <!--\; \succ \; -->0$$M \succeq N \succ 0$ , то $N^{-<!--\; -\; -->1}⪰<!--\; ⪰\; -->M^{-<!--\; -\; -->1}\succ <!--\; \succ \; -->0$$N^{-1} \succeq M^{-1} \succ 0$ .
2.	Если $M$$M$  — положительно определённая матрица и $0 < r \in \mathbb{R}$ , то $r\cdot <!--\; \cdot \; -->M$$r \cdot M$  положительно определённая матрица. Если $M$$M$  и $N$$N$  — положительно определённые матрицы, то произведения $MNM$$MNM$  и $NMN$$NMN$  тоже положительно определённые. Если $MN=NM$$M N = N M$ , то $MN$$M N$  тоже положительно определённая.
3.	Если $M$$M$  — положительно определённая матрица, то элементы главной диагонали $m_{ii}$$m_{ii}$  положительны. Следовательно, $\mathrm{trace}<!--\; \; -->\left(M\right)>0$$\operatorname{trace}\left(M\right) > 0$ . Более того, $|m_{ij}|\le <!--\; \le \; -->\sqrt{m_{ii}{m}_{jj}}\le <!--\; \le \; -->\frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$$| m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$ .
4.	$M$$M$  — положительно определённая матрица тогда и только тогда, когда существует положительно определённая $B\succ <!--\; \succ \; -->0$$B \succ 0$  такая, что $B^2=M$$B^2 = M$ . Обозначим $B=M^{\frac{1}{2}}$$B = M^{\frac{1}{2}}$ . Такая матрица $B$$B$  единственна при условии, что $B\succ <!--\; \succ \; -->0$$B \succ 0$ . Если $M\succ <!--\; \succ \; -->N\succ <!--\; \succ \; -->0$$M \succ N \succ 0$ , то $M^{\frac{1}{2}}>N^{\frac{1}{2}}>0$$M^{\frac{1}{2}} > N^{\frac{1}{2}}>0$ .
5.	Если $M$$M$  и $N$$N$  — положительно определённые матрицы, то $M\otimes <!--\; \otimes \; -->N\succ <!--\; \succ \; -->0$$M\otimes N \succ 0$  (где $\otimes <!--\; \otimes \; -->$$\otimes$  обозначает произведение Кронекера).
6.	Если $M$$M$  и $N$$N$  — положительно определённые матрицы, то $M\circ <!--\; \circ \; -->N\succ <!--\; \succ \; -->0$$M\circ N \succ 0$  (где $\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$  обозначает произведение Адамара). Когда $M,N$$M,N$  вещественные матрицы, выполняется также следующее неравенство (неравенство Оппенхейма): $det(M\circ <!--\; \circ \; -->N)\ge <!--\; \ge \; -->(detN)\underset{i}{\prod <!--\; \prod \; -->}{m}_{ii}$$\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}$ .
7.	Если $M$$M$  — положительно определённая матрица, а $N$$N$  — эрмитова матрица и $MN+NM⪰<!--\; ⪰\; -->0$$MN + NM \succeq 0$  $\left(MN+NM\succ <!--\; \succ \; -->0\right)$$\left( MN+NM \succ 0 \right)$ , то $N⪰<!--\; ⪰\; -->0$$N \succeq 0$  $\left(N\succ <!--\; \succ \; -->0\right)$$\left( N \succ 0 \right)$ .
8.	Если $M$$M$  и $N$$N$  — положительно полуопределённые вещественные матрицы, то $\mathrm{trace}<!--\; \; -->\left(MN\right)⪰<!--\; ⪰\; -->0$$\operatorname{trace}\left(MN\right)\succeq 0$ .
9.	Если $M$$M$  — положительно определённая вещественная матрица, то существует число $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$  такое, что $M⪰<!--\; ⪰\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}I$$M\succeq \delta I$ , где $I$$I$  — единичная матрица.

Неэрмитовы матрицыПравить

Вещественные несимметрические матрицы тоже могут удовлетворять неравенству $x^{T}Mx>0$$x^T M x > 0$  для всех ненулевых вещественных векторов $x$$x$ . Такой, к примеру, является матрица

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix},$ 

поскольку для всех ненулевых вещественных векторов $x=(x_1,x_2{)}^T$$x = (x_1, x_2)^T$ 

$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .$ 

Обобщая, $x^{T}Mx>0$$x^T M x > 0$  для всех ненулевых вещественных векторов $x$$x$  тогда и только тогда, когда симметрическая часть $\frac{M+M^T}{2}$$\frac{M + M^T}{2}$  положительно определённая.

Для комплексных матриц существует несколько обобщений неравенства $x^{\ast <!--\; \ast \; -->}Mx>0$$x^{*} M x > 0$ . Если $x^{\ast <!--\; \ast \; -->}Mx>0$$x^{*} M x > 0$  для всех ненулевых комплексных векторов $x$$x$ , тогда матрица $M$$M$  эрмитова. То есть если $x^{\ast <!--\; \ast \; -->}Mx>0$$x^{*} M x > 0$ , то $M$$M$  эрмитова. С другой стороны, $\mathrm{Re}<!--\; \; -->\left(x^{\ast <!--\; \ast \; -->}Mx\right)>0$$\operatorname{Re}\left(x^{*} M x\right) > 0$  для всех ненулевых комплексных векторов $x$$x$  тогда и только тогда, когда эрмитова часть $\frac{M+M^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{2}$$\frac{M + M^{*}}{2}$  положительно определённая.

См. такжеПравить

• Сигнатура квадратичной формы
• Квадратный корень
• Дополнение Шура
• Разложение Холецкого

ЛитератураПравить

• R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
• R. Bhatia, Positive definite matrices, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.