Критерий Сильвестра

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

\text{[math]}

A=\left|{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}\right|.

A=\left|{\begin{vmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\ldots &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}\right|.

Тогда эта форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Delta _{i}$ $\Delta _{i}$ размеров i × i, где i пробегает все целые числа от 1 до n включительно, положительны; а отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Delta _{i}$ $\Delta _{i}$ чередуются, причём $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Delta _{1}<0$ $\Delta _{1}<0$ ^[1]. Здесь угловыми минорами матрицы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ называются определители вида

\text{[math]}

\Delta _{1}=a_{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\ldots ,\Delta _{i}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1i}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2i}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ii}\end{vmatrix}},\ldots

\Delta _{1}=a_{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\ldots ,\Delta _{i}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1i}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2i}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ii}\end{vmatrix}},\ldots

ДоказательствоПравить

Критерий положительной определённости квадратичной формыПравить

Критерий гласит, что

для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры её матрицы были положительны.

Его доказательство основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство необходимости Править

Пусть $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $q(x)$ — положительно определённая квадратичная форма. Тогда j-й диагональный элемент положителен, так как $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $q(e_{j})>0$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $e_{j}$ — вектор со всеми нулевыми координатами, кроме j-й. При приведении матрицы к каноническому виду в силу невырожденности угловых миноров стро́ки не нужно будет переставлять, поэтому в итоге знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, а значит и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях) у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

Доказательство достаточности Править

Дана симметричная квадратичная форма, все угловые миноры которой положительны. Рассмотрим сначала первый диагональный элемент в каноническом виде: его знак определяется первым угловым минором. Далее, знак числа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Delta _{i+1}/\Delta _{i}$ определяет знак (i + 1)-го элемента в диагональном виде. Получается, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.^[2]

Критерий отрицательной определённости квадратичной формыПравить

Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $-A$ является положительно определённой. При замене матрицы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же в силу основных свойств определителей.

Критерий полуопределённости квадратичной формыПравить

Для положительно полуопределённых матриц критерий звучит подобным образом: форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Здесь главным минором называется определитель подматрицы, симметричной относительно главной диагонали, то есть подматрицы, у которой множества задающих её номеров столбцов и строк одинаковые (напр. 1-й и 3-й столбцы и строки, на пересечении которых расположена матрица)^[3].

Неотрицательности только угловых миноров недостаточно, что следует из контрпримера $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ : $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Delta _{1}=\Delta _{2}=0\geqslant 0$ , но форма не является положительно полуопределённой.

См. такжеПравить

Джеймс Джозеф Сильвестр

ПримечанияПравить

↑ Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы (неопр.).
↑ Д. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
↑ Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: теоремы и задачи. T. 2,2. — Москва: Зерцало, 2003. — С. 155. — 251 с. — ISBN 5-94373-077-X.

[1] Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы (неопр.).

[2] Д. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

[КК-3] Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: теоремы и задачи. T. 2,2. — Москва: Зерцало, 2003. — С. 155. — 251 с. — ISBN 5-94373-077-X.

[1]

[2]

[3]