Определитель Грама

Определителем Грама (грамианом) системы векторов ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{e}}_n$$\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

$\begin{vmatrix} \langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatrix},$

где $⟨<!--\; ⟨\; -->e_i,e_j⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle e_i,\;e_j\rangle$ — скалярное произведение векторов ${\mathbf{e}}_i$$\mathbf{e}_i$ и ${\mathbf{e}}_j$$\mathbf{e}_j$.

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве $V$$V$ система векторов ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{e}}_n$$\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ порождает подпространство $U$$U$. Зная, чему равны скалярные произведения вектора $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$ из $U$$U$ с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора $x$$x$ по векторам ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{e}}_n$$\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$.

Исходя из разложения

$\mathbf{x}=x_1{\mathbf{e}}_1+x_2{\mathbf{e}}_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_n{\mathbf{e}}_n,$$\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\ldots+x_n\mathbf{e}_n,$

получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

$\{\begin{array}{l}⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->x_1+⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2⟩<!--\; ⟩\; -->x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_n⟩<!--\; ⟩\; -->x_n=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_1,\mathbf{x}⟩<!--\; ⟩\; -->;\\ ⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->x_1+⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_2⟩<!--\; ⟩\; -->x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_n⟩<!--\; ⟩\; -->x_n=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_2,\mathbf{x}⟩<!--\; ⟩\; -->;\\ \dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\\ ⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_n,{\mathbf{e}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->x_1+⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_n,{\mathbf{e}}_2⟩<!--\; ⟩\; -->x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_n,{\mathbf{e}}_n⟩<!--\; ⟩\; -->x_n=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{e}}_n,\mathbf{x}⟩<!--\; ⟩\; -->.\end{array}$${\begin{cases}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle .\\\end{cases}}$

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{e}}_n$$\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя ГрамаПравить

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве $V$$V$  система векторов ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{e}}_n$$\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$  порождает подпространство $U$$U$ . Зная скалярные произведения вектора $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$  из $V$$V$  с каждым из этих векторов, найти расстояние от $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$  до $U$$U$ .

Минимум расстояний $|\mathbf{x}-<!--\; -\; -->\mathbf{u}|$$|\mathbf{x}-\mathbf{u}|$  по всем векторам $\mathbf{u}$$\mathbf {u}$  из $U$$U$  достигается на ортогональной проекции вектора $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$  на $U$$U$ . При этом $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n}$$\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n}$ , где вектор $\mathbf{n}$$\mathbf {n}$  перпендикулярен всем векторам из $U$$U$ , и расстояние от $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$  до $U$$U$  равно модулю вектора $\mathbf{n}$$\mathbf {n}$ . Для вектора $\mathbf{u}$$\mathbf {u}$  решается задача о разложении (см. выше) по векторам ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{e}}_n$$\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ , и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

$\mathbf{u}=-\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} \end{vmatrix},$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — определитель Грама системы. Вектор $\mathbf{n}$$\mathbf {n}$  равен:

$\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}=\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{x} \end{vmatrix}$ 

и квадрат его модуля равен

$|\mathbf{n}{|}^2=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathbf{n},\mathbf{x}⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{e}}_n,\mathbf{x})}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{e}}_n)}.$$|\mathbf{n}|^2=\langle\mathbf{n},\;\mathbf{x}\rangle=\frac{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x})}{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\;\mathbf{e}_n)}.$ 

Из этой формулы индукцией по $n$$n$  получается следующее утверждение:

• Определитель Грама системы $n$$n$  векторов равен квадрату объёма $n$$n$ -мерного параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.

См. такжеПравить

• Процесс Грама ― Шмидта