Унитарная матрица

Унита́рная ма́трица — квадратная матрица с комплексными элементами, результат умножения которой на эрмитово сопряжённую равен единичной матрице: $U^{†<!--\; †\; -->}U=U{U}^{†<!--\; †\; -->}=I$$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I$. Другими словами, матрица унитарна тогда и только тогда, когда существует обратная к ней матрица, удовлетворяющая условию $U^{-<!--\; -\; -->1}=U^{†<!--\; †\; -->}$$U^{{-1}}=U^{\dagger }$.

Унитарные матрицы обобщают понятие ортогональных матриц, элементы которых — только действительные числа, на матрицы с компле́ксными числами.

Следующие утверждения относительно данной квадратной матрицы $A$$A$ являются эквивалентными:

1. $A$$A$ — унитарна.
2. $A^{†<!--\; †\; -->}$$A^{\dagger }$ — унитарна.
3. Столбцы матрицы $A$$A$ образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве.
4. Строки матрицы $A$$A$ образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве.

ИнтерпретацияПравить

Унитарная матрица представляет преобразование, переводящее ортонормированный базис комплексного векторного пространства размерности, соответствующей её размеру, в ортонормированный базис. (Это верно для любого ортонормированного базиса).

Это эквивалентно утверждению, что преобразование, представляемое унитарной матрицей, сохраняет скалярное произведение (а потому и длины всех векторов).

СвойстваПравить

• Всякая унитарная матрица является нормальной.
• Произведение унитарных матриц также является унитарной матрицей.
• Для всякой унитарной матрицы $U$$U$  существует такая унитарная матрица $V$$V$ , что $V^{\ast <!--\; \ast \; -->}UV$$V^{*}UV$  — диагональна.
• Множество всех унитарных матриц порядка $n$$n$  по умножению образует унитарную группу $U(n)$$U(n)$  — (алгебраическую) группу Ли над полем вещественных чисел.

Если определитель унитарной матрицы $A$$A$  равен единице, её называют специальной унитарной матрицей. Модуль определителя унитарной матрицы всегда равен 1.

Множество всех специальных унитарных матриц порядка $n$$n$  по умножению образуют специальную унитарную группу $SU(n)$$SU(n)$ . Группы $SU(2)$$SU(2)$  и $SU(3)$$SU(3)$  играют важную роль при изложении квантовой механики и физики элементарных частиц.

См. такжеПравить

• Эрмитова матрица
• Унитарный оператор
• Унитарная группа
• Специальная унитарная группа
• Группа Ли
• Ортонормированный базис
• Гильбертово пространство
• Группа вращений

ЛитератураПравить

• Унитарная матрица // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 242. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).