Краевая задача

Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Обыкновенные дифференциальные уравненияПравить

Линейные уравнения n-го порядкаПравить

Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид

$L(y)=f(x),U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(y)={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,m,$$L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,$ 

где

$L(y)=\underset{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)y^{(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})},$$L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},$ 

функции $f(x)$$f(x)$  и $f_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)$$f_{\nu}(x)$  непрерывны на отрезке $a\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->b$$a\leq x\leq b$ , $f_n(x)\ne <!--\; \ne \; -->0$$f_n(x) \ne 0$ , краевые условия заданы линейными формами

$U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(y)=\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{(k)}{y}^{(k)}(a)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{(k)}{y}^{(k)}(b)\right],\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,m,$$U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \left[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \right], \quad \mu = 1, 2, \dots, m,$ 

${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\gamma_{\mu}$  — заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\alpha_{\mu}, \beta_{\mu}$  имеет ранг $m$$m$ , при этом краевые условия линейно независимы. Если ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0$$\gamma_{\mu} = 0$  и $f(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$f(x) \equiv 0$ , краевая задача называется однородной, если только ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0$$\gamma_{\mu} = 0$  — полуоднородной.

Задача на собственные значенияПравить

Собственными значениями называются те значения параметра $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , при которых однородная краевая задача

$L(y)+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}g(x)y=0,U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(y)=0,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,m,$$L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,$ 

имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.

Если ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}),{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}),\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$\varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \dots, \varphi_n(x, \lambda)$  — фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_p^{(q)}(a,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=\{\begin{array}{l}1,q=p-<!--\; -\; -->1,\\ 0,q\ne <!--\; \ne \; -->p-<!--\; -\; -->1.\end{array}p=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n,q=0,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1,$$\varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1.\end{array} \right. \quad p = 1, 2, \dots, n, \quad q = 0, \dots, n - 1,$ 

то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=det[U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}})]$$\Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})]$ . Если $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\not\equiv 0$$\Delta(\lambda) \not \equiv 0$ , то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.

Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:

• Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
• Задача о разложении по собственным функциям. Если $u_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)$$u_{\nu}(x)$  — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция $F(x)$$F(x)$  может быть разложена в сходящийся ряд

$F(x)=\sum <!--\; \sum \; -->c_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{u}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)$$F(x) = \sum c_{\nu} u_{\nu}(x)$ 

по функциям $u_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)$$u_{\nu}(x)$ ?

Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:

$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-<!--\; -\; -->q(x)y+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)y=0$$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0$ 

$\begin{array}{l}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1{y}^{\prime }(a)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{1}y(a)=0,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1^2\ne <!--\; \ne \; -->0;\\ {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2{y}^{\prime }(b)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{2}y(b)=0,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2^2\ne <!--\; \ne \; -->0;\end{array}$${\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}$ 

Функция ГринаПравить

Основная статья: Функция Грина

Теорема 1. Если однородная краевая задача $L(y)=0,U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(y)=0,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$  имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции $f(x)$$f(x)$ , непрерывной на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ , существует решение полуоднородной краевой задачи $L(y)=f,U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(y)=0,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$ , задаваемое формулой $y(x)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},$$y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi,$  где $G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$G(x, \xi)$  — функция Грина однородной краевой задачи.

С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из $n$$n$  раз непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$$[a,b]$  функций $y$$y$ , удовлетворяющих краевым условиям $U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(y)=0$$U_{\mu}(y) = 0$ , и действующий по правилу $L(y)$$L(y)$ . При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром $G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$G(x, \xi)$ .

Функция Грина $G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$G(x, \xi)$  однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. $G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$G(x, \xi)$  непрерывна и имеет непрерывные производные по $x$$x$  до $(n-<!--\; -\; -->2)$$(n-2)$ -го порядка включительно для всех значений $x$$x$  и $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  из интервала $[a,b]$$[a,b]$ .
2. При любом фиксированном $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  из отрезка $[a,b]$$[a,b]$  функция $G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$G(x, \xi)$  имеет непрерывные производные $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -го и $n$$n$ -го порядка по $x$$x$  в каждом из интервалов $[a,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$[a, \xi)$  и $(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},b]$$(\xi, b]$ , причем производная $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -го порядка имеет при $x=\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$x = \xi$  скачок $\frac{1}{f_n(x)}$$\frac{1}{f_n(x)}$ .
3. В каждом из интервалов $[a,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$[a, \xi)$  и $(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},b]$$(\xi, b]$  функция $G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$G(x, \xi)$ , рассматриваемая как функция от $x$$x$ , удовлетворяет уравнению $L(G)=0$$L(G) = 0$  и краевым условиям $U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(G)=0,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$ .

Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.

С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу

$L(y)=f(x),U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(y)={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n.$$L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.$ 

Решение имеет вид

$y={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_k{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_k(x),$$y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x),$ 

где ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_k(x)$$\psi_k(x)$  — решения краевых задач

$L(y)=0,U_k(y)=1,U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(y)=0,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->k,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n.$$L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.$ 

Краевая задача с параметром

$L(y)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y+f(x),U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(y)=0,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n,$$L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,$ 

эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

$y(x)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})y(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}+g(x),$$y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),$ 

где

$g(x)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}.$$g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi.$ 

Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра $G(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$G(x, \xi)$ .

Системы линейных дифференциальных уравненийПравить

Краевая задача состоит в отыскании системы функций $u_1(x),u_2(x),\dots <!--\; \dots \; -->,u_n(x)$$u_1(x), u_2(x), \dots, u_n(x)$ , удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений

$u_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\prime }=\underset{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)u_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+f_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x),\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,m,$$u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1, 2, \dots, m,$ 

и краевым условиям

$U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(u)={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n,$$U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,$ 

где $f_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},f_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$f_{\mu}, f_{\mu, \nu}$  — функции, непрерывные на отрезке $a\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->b$$a \le x \le b$ ,

$U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(u)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},k}{u}_k(a)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},k}{u}_k(b)\right],$$U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \left[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\right],$ 

матрица

$(\alpha ,\beta )=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1,1}&\dots &\beta _{1,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\\alpha _{n,1}&\dots &\alpha _{n,n}&\beta _{n,1}&\dots &\beta _{n,n}\\\end{array}}\right)$ 

имеет ранг $n$$n$ , ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\gamma_{\mu}$  — заданные числа.

Численные методы решенияПравить

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.

• Метод стрельбы (пристрелки). Решается задача Коши, у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия. Для подбора параметра можно использовать, например, метод бисекции или метод Ньютона.
• Метод параллельной стрельбы. Является обобщением метода стрельбы.
• Метод конечных разностей. Строится конечно-разностная аппроксимация уравнения и краевых условий и решается система линейных алгебраических уравнений.
• Вариационные методы (метод Ритца, метод Галёркина).
• Метод интегральных уравнений. Краевая задача при помощи функции Грина заменяется интегральным уравнением, которое решается с помощью квадратурных формул.
• Метод суперпозиции. Решение краевой задачи находится как линейная комбинация решений нескольких задач Коши.
• Метод прогонки (не путать с методом прогонки для решения трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений). Решение краевой задачи

$y^{″}=p(x)y+q(x),y^{\prime }(a)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{0}y(a)+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,y^{\prime }(b)={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{0}y(b)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1$$y'' = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1$ 

удовлетворяет дифференциальному уравнению

$y^{\prime }(x)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0(x)y(x)+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1(x)(\ast <!--\; \ast \; -->)$$y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*)$ ,

где функции ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0(x),{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1(x)$$\alpha_0(x), \alpha_1(x)$  находятся как решения задачи Коши

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0^{\prime }(x)+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0^2(x)=p(x),{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0(a)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0,$$\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,$ 

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1^{\prime }(x)+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0(x){\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1(x)=q(x),{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1(a)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1.$$\alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.$ 

Затем $y(x)$$y(x)$  находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию $y^{\prime }(b)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0(b)y(b)+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1(b)$$y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b)$ .

ПрименениеПравить

Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка. Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.

Уравнения в частных производныхПравить

ОбозначенияПравить

Пусть $G$$G$  — ограниченная область в ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  с кусочно-гладкой границей $S$$S$ , $n$$n$  — вектор нормали к границе $S$$S$ , направленный во вне области $G$$G$ , $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}$$\frac{\partial u}{\partial n}$  — производная по направлению нормали, $Q_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=G\times <!--\; \times \; -->(0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$Q_{\infty} = G \times (0, \infty)$ . Функции $p,q,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$p, q, \alpha, \beta, \rho$  удовлетворяют условиям:

$p\in <!--\; \in \; -->C^1(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}),q\in <!--\; \in \; -->C(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}),p(x)>0,q(x)\ge <!--\; \ge \; -->0,x\in <!--\; \in \; -->G,$$p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,$ 

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->C(S),\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->C(S),\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)\ge <!--\; \ge \; -->0,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)\ge <!--\; \ge \; -->0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)>0,x\in <!--\; \in \; -->S,$$\alpha \in C(S), \quad \beta \in C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \in S,$ 

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\in <!--\; \in \; -->C(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}),\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)>0,x\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}.$$\rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.$ 

Здесь $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}=G\cup <!--\; \cup \; -->S$$\bar G = G \cup S$  — замыкание области $G$$G$ , $C(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G})$$C(\bar G)$  — множество функций, непрерывных в $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}$$\bar G$ , $C^k(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G})$$C^k(\bar G)$  — множество функций, $k$$k$  раз непрерывно дифференцируемых в $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}$$\bar G$ .

Уравнения гиперболического типаПравить

Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции $u(x,t)\in <!--\; \in \; -->C^2(Q_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})\cap <!--\; \cap \; -->C^1({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Q}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})$$u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty})$ , удовлетворяющей уравнению

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=\text{div}(p\text{grad}u)-<!--\; -\; -->qu+F(x,t),(x,t)\in <!--\; \in \; -->Q_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}},$$\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - q u + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},$ 

начальным условиям

$u_{|t=0}=u_0(x),{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}}_{|t=0}=u_1(x),x\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G},$$u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,$ 

и граничному условию

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}u+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{|}_S=0.$$\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} |_{S} = 0.$ 

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости

$F\in <!--\; \in \; -->C(Q_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}),u_0\in <!--\; \in \; -->C^1(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}),u_1\in <!--\; \in \; -->C(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G})$$F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G)$ 

и условие согласованности

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{u}_0+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}=0$$\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n} = 0$ .

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от $u_0,u_1,F$$u_0, u_1, F$ .

Уравнения параболического типаПравить

Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции $u(x,t)\in <!--\; \in \; -->C^2(Q_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})\cap <!--\; \cap \; -->C^1({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Q}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}),{\text{grad}}_{x}u\in <!--\; \in \; -->C({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Q}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})$$u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty})$ , удовлетворяющей уравнению

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\text{div}(p\text{grad}u)-<!--\; -\; -->qu+F(x,t),(x,t)\in <!--\; \in \; -->Q_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}},$$\rho \frac{\partial u}{\partial t} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - q u + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},$ 

начальному условию

$u_{t=0}=u_0(x),x\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G},$$u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G,$ 

и граничному условию

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{u}_0+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}=v(x,t),(x,t)\in <!--\; \in \; -->S\times <!--\; \times \; -->[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}).$$\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \times [0, \infty).$ 

Для существования решения необходимы следующие условия гладкости

$F\in <!--\; \in \; -->C(Q_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}},u_0\in <!--\; \in \; -->C(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}),v\in <!--\; \in \; -->C(S\times <!--\; \times \; -->[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})),$$F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),$ 

и условие согласованности

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{u}_0+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{|}_S=v(x,0).$$\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n}|_S = v(x, 0).$ 

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от $F,u_0,v$$F, u_0, v$ .

Уравнения эллиптического типаПравить

Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u=0$$\Delta u=0$ .

Пусть область $G\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^3$$G \in \mathbb{R}^3$  такова, что $G_1={\mathbb{R}}^3\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}G$$G_1 = \mathbb{R}^3 \backslash G$ .

• Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области $G$$G$  функцию $u\in <!--\; \in \; -->C(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G})$$u \in C(\bar G)$ , принимающую на границе $S$$S$  заданные (непрерывные) значения $u_0^{-<!--\; -\; -->}$$u_0^-$ .
• Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области $G_1$$G_{1}$  функцию $u\in <!--\; \in \; -->C({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}}_1)$$u \in C(\bar G_1)$ , принимающую на $S$$S$  заданные (непрерывные) значения $u_0^{+}$$u_0^+$  и обращающуюся в нуль на бесконечности.
• Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области $G$$G$  функцию $u\in <!--\; \in \; -->C(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G})$$u \in C(\bar G)$ , имеющую на $S$$S$  заданную (непрерывную) правильную нормальную производную $u_1^{-<!--\; -\; -->}$$u_1^-$ .
• Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области $G_1$$G_{1}$  функцию $u\in <!--\; \in \; -->C({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}}_1)$$u \in C(\bar G_1)$ , имеющую на $S$$S$  заданную (непрерывную) правильную нормальную производную $u_1^{+}$$u_1^+$  и обращающуюся в нуль на бесконечности.

Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u=-<!--\; -\; -->f$$\Delta u = - f$ .

Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.

Методы решенияПравить

• Метод разделения переменных
• Метод распространяющихся волн (для уравнений гиперболического типа)
• Метод функции Грина (для уравнений эллиптического типа)
• Разностные методы.
• Вариационные методы.
• Метод конечных элементов.

См. такжеПравить

• Задача Коши
• Начальные и граничные условия
• Задача Штурма-Лиувилля
• Функция Грина
• Волновое уравнение
• Гиперболическое уравнение
• Параболическое уравнение
• Эллиптическое уравнение
• Задача Дирихле
• Задача Неймана

ЛитератураПравить

Обыкновенные дифференциальные уравненияПравить

• Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем.. — 4-е изд., испр.. — М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576 с.
• Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.

Уравнения в частных производныхПравить

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.

Численные методыПравить

• На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982. — 286 с.
• Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том II. — М.: Гос. изд-во физ.-мат.лит., 1959.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
• Гулин А. В.,Самарский А. А. Численные методы:учебное пособие для вузов. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 432 с. — ISBN 5-02-013996-3.