Эллиптическое уравнение

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Гармоническая функция на кольце — решение уравнения Лапласа

ОпределениеПравить

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции $u:R^n\to <!--\; \to \; -->R$$u:R^{n}\rightarrow R$ :

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_k}+cu=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: $a_{ij}=a_{ji}$$a_{{ij}}=a_{{ji}}$ . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

$\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}A{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^T\right)u+\mathbf{b}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}u+cu=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ,

где $A=A^T$$A=A^{T}$ .
Матрица $A$$A$  называется матрицей главных коэффициентов.
Если все собственные значения матрицы $A$$A$  имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу.
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:

$Lu=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$Lu=f(x_{1},\ldots ,x_{{n}})$ ,

где $L$$L$  — эллиптический оператор.

Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.

Решение эллиптических уравненийПравить

Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных граничных условиях применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.

Примеры эллиптических уравненийПравить

В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.

• Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона, описывают различные стационарные физические поля.
• Стационарный аналог уравнения Шрёдингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
• Уравнения, получаемые из уравнений Максвелла. Такие получаются, из предположения, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Одним из уравнений, получаемых в таких предположениях является уравнение Гельмгольца.
• Уравнение Стокса — стационарный аналог системы уравнений Навье-Стокса, для устоявшегося течения.

А также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.

См. такжеПравить

• Задача Дирихле
• Условия Коши — Римана
• Параболическое уравнение
• Гиперболическое уравнение