Задача Штурма — Лиувилля

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке $(a,b)$$(a,\;b)$ уравнения Штурма — Лиувилля

$L[y]=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)y(x),$$L[y]=\lambda \rho (x)y(x),$

удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

$\begin{array}{l}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1{y}^{\prime }(a)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{1}y(a)=0,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1^2\ne <!--\; \ne \; -->0;\\ {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2{y}^{\prime }(b)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{2}y(b)=0,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2^2\ne <!--\; \ne \; -->0;\end{array}$${\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}$

и значений параметра $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$, при которых такие решения существуют.

Оператор $L[y]$$L[y]$ здесь — это действующий на функцию $y(x)$$y(x)$ линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

$L[y]\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{d}{dx}\left[-<!--\; -\; -->p(x)\frac{dy}{dx}\right]+q(x)y(x)$$L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\left[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)$

(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), $x$$x$ — вещественный аргумент.

Функции $p(x),p^{\prime }(x),q(x),\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)$$p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)$ предполагаются непрерывными на $(a,b)$$(a,\;b)$, кроме того функции $p(x),\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)$$p(x),\;\rho (x)$ положительны на $(a,b)$$(a,\;b)$.

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Постановка задачиПравить

Вид уравненияПравить

Если функции $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  и $p$$p$  дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке $[a,b]$$[a,b]$  и функция $q$$q$  непрерывна на $[a,b]$$[a,\;b]$ , то уравнение Штурма — Лиувилля вида

$(p(x)y^{\prime }{)}^{\prime }-<!--\; -\; -->q(x)y+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)y=0$$(p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0$ 

при помощи преобразования Лиувилля приводится к виду

$-<!--\; -\; -->y^{″}+q_1(x)y=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y.(1)$$-y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)$ 

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию $q_1(x)$$q_{1}(x)$  называют потенциалом. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными, $L$$L$  (суммируемыми), $L_2$$L_{2}$  и других.

Виды краевых условийПравить

• Условия Дирихле $y(a)=y(b)=0.$$y(a) = y(b) = 0.$ 
• Условия Неймана $y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)=0$$y'(a) = y'(b) = 0$ 
• Условия Робена $y^{\prime }(a)-<!--\; -\; -->hy(a)=0,y^{\prime }(b)+Hy(b)=0.$$y'(a) - h y(a) = 0, \quad y'(b) + H y(b) = 0.$ 
• Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка $[a,b]$$[a,\;b]$ .
• Распадающиеся краевые условия общего вида

$\begin{array}{l}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1{y}^{\prime }(a)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{1}y(a)=0,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1^2\ne <!--\; \ne \; -->0;\\ {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2{y}^{\prime }(b)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{2}y(b)=0,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2^2\ne <!--\; \ne \; -->0.\end{array}$$\begin{array}{l} \alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0. \\ \end{array}$ 

• Периодические условия $y(a)=y(b),y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)$$y(a) = y(b), \quad y'(a) = y'(b)$ .
• Антипериодические условия $y(a)=-<!--\; -\; -->y(b),y^{\prime }(a)=-<!--\; -\; -->y^{\prime }(b)$$y(a) = -y(b), \quad y'(a) = -y'(b)$ .
• Общие краевые условия

$a_{i1}y(a)+a_{i2}{y}^{\prime }(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}{y}^{\prime }(b)=0,i=1,2.$$a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\;2.$ 

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты $a_{ij}$$a_{{ij}}$ .

Для удобства произвольный отрезок $[a,b]$$[a,\;b]$  часто переводят в отрезок $[0,l]$$[0,\;l]$  или $[0,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$[0,\;\pi ]$  с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — ЛиувилляПравить

Оператор Штурма — Лиувилля

$Ly=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)}(\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{d}{dx}y\right]-<!--\; -\; -->q(x)y)$$L y = -\frac{1}{\rho(x)} \Bigl( \frac{d}{dx}\left[ p(x) \frac{d}{dx}y \right] - q(x) y \Bigr)$ 

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора

$p_0(x)y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-<!--\; -\; -->1)}+\dots <!--\; \dots \; -->+p_n(x)y.$$p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.$ 

Область определения оператора $L$$L$  состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$$[a,\;b]$  функций $y$$y$ , удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора $L$$L$ : $Ly=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y$$L y = \lambda y$ . Если функции $p,q,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$p,\ q,\ \rho$  и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор $L$$L$  является самосопряжённым в гильбертовом пространстве $L_2([a,b],\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)dx)$$L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)$ . Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)$$\rho(x)$ .

Решение задачиПравить

ПримерПравить

Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:

$-<!--\; -\; -->y^{″}=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y,(2)$$-y''=\lambda y,\qquad (2)$ 

$y(0)=y(l)=0$$y(0)=y(l)=0$ 

может быть найдено в явном виде. Пусть $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2$$\lambda = \rho^2$ . Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  имеет вид

$y(x)=A\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}x}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}+B\cos <!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}x(3)$$y(x)=A{\frac {\sin \rho x}{\rho }}+B\cos \rho x\qquad (3)$ 

(в частности, при $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=0$$\rho =0$  (3) дает $y(x)=Ax+B$$y(x) = Ax + B$ ). Из $y(0)=0$$y(0) = 0$  следует $B=0$$B=0$ . Подставляя (3) в краевое условие $y(l)=0$$y(l) = 0$ , получаем $A\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}l}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=0$$A{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0$ . Так как мы ищем нетривиальные решения, то $A\ne <!--\; \ne \; -->0$$A \ne 0$ , и мы приходим к уравнению на собственные значения

$\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}l}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=0.$${\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0.$ 

Его корни ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_n=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n}{l}$$\rho_n = \frac{\pi n}{l}$ , следовательно, искомые собственные значения имеют вид

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n={\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n}{l}\right)}^2,n=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->$$\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots$ 

а соответствующие им собственные функции суть

$y_n(x)=\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n}{l}x,n=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->$$y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots$ 

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случайПравить

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

$-<!--\; -\; -->y^{″}+q(x)y=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y(4)$$-y'' + q(x)y = \lambda y \qquad (4)$ 

представимо в виде линейной комбинации

$y(x)=AS(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})+BC(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})(5)$$y(x)=AS(x,\;\lambda )+BC(x,\;\lambda )\qquad (5)$ 

его решений $S(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$S(x,\;\lambda )$  и $C(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$C(x,\;\lambda )$ , удовлетворяющих начальным условиям

$S(0,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=C^{\prime }(0,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=0,S^{\prime }(0,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=C(0,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=1$$S(0,\;\lambda )=C'(0,\;\lambda )=0,\quad S'(0,\;\lambda )=C(0,\;\lambda )=1$ .

Решения $S(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$S(x,\;\lambda )$  и $C(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$C(x,\;\lambda )$  образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  при каждом фиксированном $x$$x$ . (При $q(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$q(x) \equiv 0$  $S(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}x$$S(x,\;\lambda )=\sin \rho x$ , $C(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}x$$C(x,\;\lambda )=\cos \rho x$ , $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\sqrt{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$\rho = \sqrt \lambda$ ). Подставляя (5) в краевые условия $y(0)=y(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})=0$$y(0) = y(\pi) = 0$ , получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=S(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}),$$\Delta (\lambda )=S(\pi ,\;\lambda ),$ 

аналитической во всей $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -плоскости.

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

${\sqrt{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_n=n+\frac{c}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right),c=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}q(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},$$\sqrt \lambda_n = n + \frac{c}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right), \quad c = \frac{1}{2\pi} \int_0^{\pi} q(\tau) \, d \tau,$ 

$y_n(x)=\sin <!--\; \; -->nx+O\left(\frac{1}{n^2}\right),$$y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),$ 

(в случае непрерывного на $[0,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$[0,\;\pi ]$  потенциала $q(x)$$q(x)$ ). При больших $n$$n$  собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функцийПравить

• Существует бесконечное счетное множество собственных значений: $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots$ 
• Каждому собственному значению ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n$$\lambda_n$  соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция $y_n$$y_{n}$ .
• Все собственные значения вещественны.
• В случае граничных условий $y(a)=y(b)=0$$y(a)=y(b)=0$  и при выполнении условия $q(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$q(x)\geqslant 0$  все собственные значения положительны ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n>0$$\lambda _{n}>0$ .
• Собственные функции $y_n(x)$$y_{n}(x)$  образуют на $[a,b]$$[a,\;b]$  ортогональную с весом $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)$$\rho (x)$  систему $\{y_n(x)\}$$\{y_{n}(x)\}$ :

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{y}_n(x)y_m(x)\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)dx=0,n\ne <!--\; \ne \; -->m.$$\int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.$ 

• Имеет место теорема Стеклова.

Численные методы решенияПравить

• Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле $y(a)=y(b)=0$$y(a) = y(b) = 0$ , можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями $u(a)=0$$u(a) = 0$ , $u^{\prime }(a)=1$$u'(a) = 1$  и вести пристрелку параметра $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  до выполнения правого краевого условия.
• Метод конечных разностей. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
• Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция $y=\{y_0,y_1,\dots <!--\; \dots \; -->,y_N\}$$y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{N}\}$  дополняется компонентой $y_{N+1}=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$y_{N + 1} = \lambda$ . Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.
• Метод Галёркина.
• Вариационные методы.

Применение к решению уравнений в частных производныхПравить

Основная статья: Метод Фурье

Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных.

В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа:

$\rho (x)u_{tt}=(k(x)u_{x})_{x}-q(x)u,\quad 0<x<l,\;t>0,\qquad (6)$ 

$(h_1{u}_x-<!--\; -\; -->hu{)}_{|x=0}=0,(H_1{u}_x+Hu{)}_{|x=l}=0,(7)$$(h_1 u_x - h u)_{|x = 0} = 0, \quad (H_1 u_x + H u)_{|x = l} = 0, \qquad (7)$ 

$u_{|t=0}=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x),u_{t|t=0}=\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x).(8)$$u_{|t = 0} = \Phi(x), \quad u_{t|t = 0} = \Psi(x). \qquad (8)$ 

Здесь $x$$x$  и $t$$t$  — независимые переменные, $u(x,t)$$u(x,\;t)$  — неизвестная функция, $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ , $k$$k$ , $q$$q$ , $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$ , $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$\Psi$  — известные функции, $h,h_1,H,H_1$$h,\ h_{1},\ H,\ H_{1}$  — вещественные числа. Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде

$u(x,t)=Y(x)T(t).(9)$$u(x,t)=Y(x)T(t).\qquad (9)$ 

Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает

$\frac{(k(x)Y^{\prime }(x){)}^{\prime }-<!--\; -\; -->q(x)Y(x)}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)Y(x)}=\frac{T^{″}(t)}{T(t)}.$$\frac{(k(x)Y'(x))' - q(x)Y(x)}{\rho(x) Y(x)} = \frac{T''(t)}{T(t)}.$ 

Так как $x$$x$  и $t$$t$  — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через $-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$-\lambda$ . Получаем

$T^{″}(t)+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}T(t)=0,(10)$$T''(t) + \lambda T(t) = 0, \qquad (10)$ 

$-(k(x)Y'(x))' + q(x) Y(x) = \lambda \rho(x) Y(x), \quad 0 < x < l. \qquad (11)$ 

Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает

$h_1{Y}^{\prime }(0)-<!--\; -\; -->hY(0)=0,H_1{Y}^{\prime }(l)+HY(l)=0.(12)$$h_1 Y'(0) - h Y(0) = 0, \quad H_1 Y'(l) + H Y(l) = 0. \qquad (12)$ 

Нетривиальные решения (6) — (7) вида (9) существуют только при значениях $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11) — (12) ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n$$\lambda_n$ . Эти решения имеют вид $T_n(t)Y_n(x)$$T_n(t) Y_n(x)$ , где $Y_n(x)$$Y_n(x)$  — собственные функции задачи (11) — (12), $T_n(t)$$T_n(t)$  — решения уравнения (10) при $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n$$\lambda = \lambda_n$ . Решение задачи (6) — (8) находится в виде суммы частных решений (ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля $Y_n(x)$$Y_n(x)$ ):

$u(x,t)=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{T}_n(t)Y_n(x).$$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) Y_n(x).$ 

Обратные задачи Штурма — ЛиувилляПравить

Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала $q(x)$$q(x)$  оператора Штурма — Лиувилля $-<!--\; -\; -->y^{″}+q(x)y$$-y'' + q(x)y$  и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам. Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их обобщения имеют приложения в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Существует важный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (например, уравнения КдФ), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси ($-\infty < x < \infty$ ).

Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:

1. Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
2. Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве $L_2$$L_{2}$ .
3. Функцию Вейля — мероморфную функцию, равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.

Каждый из наборов данных 1 — 3 однозначно определяет потенциал $q(x)$$q(x)$ . Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1 — 3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах.

См. такжеПравить

• Краевая задача
• Собственный вектор
• Дифференциальный оператор
• Метод разделения переменных

ЛитератураПравить

• Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с. — ISBN 5-02-013751-0.
• Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977.
• Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма — Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Изд-во Московского университета, 2009. — 184 с. — ISBN 978-5-211-05557-5.
• Юрко В. А. Уравнения математической физики. — Саратов, 2010.
• Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. — М.: Физматлит, 2007. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-07.
• Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.