Метод суперпозиции

Метод суперпозиции — метод решения краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений путём преобразования в задачу Коши.

Описание методаПравить

Основная идея метода суперпозиции заключается в преобразовании граничной задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к двум или нескольким задачам Коши, которые можно решить одним из методов решения задач Коши, например методом Рунге-Кутта. Это преобразование осуществляется путём представления искомого решения $x(t)$$x(t)$  в виде линейной суммы $x(t)=x_1(t)+C_1{x}_2(t)+...+C_N{x}_N(t)$$x(t)=x_{1}(t)+C_{1}x_{2}(t)+...+C_{N}x_{N}(t)$  нескольких функций $x_1(t),x_2(t),...x_N(t)$$x_{1}(t),x_{2}(t),...x_{N}(t)$ , включающей столько неизвестных констант $C_1,...,C_N$$C_{1},...,C_{N}$ , сколько недостаёт начальных условий для приведения к задаче Коши. Затем это представление $x(t)$$x(t)$  подставляется в исходное дифференциальное уравнение и в результате получаем систему из $N+1$$N+1$  дифференциальных уравнений. При подстановке представления в условия для границ даёт возможность вычислить начальные условия задачи Коши и неизвестные константы $C_1,...,C_N$$C_{1},...,C_{N}$ .

ПримерПравить

Рассмотрим краевую задачу, определяемую линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

$f(t,x,\frac{dx}{dt},\frac{d^2}{d{t}^2})=r(t)$$f(t,x,{\frac {dx}{dt}},{\frac {d^{2}}{dt^{2}}})=r(t)$  (1)

и граничными условиями

$x(0)=x_0,x(1)=x_1$$x(0)=x_{0},x(1)=x_{1}$  (2).

Для приведения краевой задачи к задаче Коши недостаёт одного условия, поэтому представим решение в виде

$x(t)=x_1(t)+C_1{x}_2(t)$$x(t)=x_{1}(t)+C_{1}x_{2}(t)$  (3)

с одной неизвестной константой $C_1$$C_{1}$ .

Подставив это разложение в (1) получаем:

$[f(t,x_1,\frac{d{x}_1}{dt},\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2})-<!--\; -\; -->r(t)]+C_1[f(t,x_2,\frac{d{x}_2}{dt},\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2})]=0$$[f(t,x_{1},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}})-r(t)]+C_{1}[f(t,x_{2},{\frac {dx_{2}}{dt}},{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}})]=0$ 

В этом уравнении оба слагаемых должны быть равны нулю.

$f(t,x_1,\frac{d{x}_1}{dt},\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2})=r(t)$$f(t,x_{1},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}})=r(t)$  (4)

$f(t,x_2,\frac{d{x}_2}{dt},\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2})=0$$f(t,x_{2},{\frac {dx_{2}}{dt}},{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}})=0$  (5)

Первое граничное условие в (2) принимает вид:

$x_1(0)+C_1{x}_2(0)=x_0$$x_{1}(0)+C_{1}x_{2}(0)=x_{0}$ ,

отсюда вытекает:

$x_1(0)=x_0,x_2(0)=0$$x_{1}(0)=x_{0},x_{2}(0)=0$  (6 a, b)

Начальные условия для производной найдем путём дифференцирования (3) в точке 0:

$\frac{dx(0)}{dt}=\frac{d{x}_1(0)}{dt}+C_1\frac{d{x}_2(0)}{dt}$${\frac {dx(0)}{dt}}={\frac {dx_{1}(0)}{dt}}+C_{1}{\frac {dx_{2}(0)}{dt}}$  (7)

Граничные условия для производной можно положить:

$\frac{d{x}_1(0)}{dt}=0,\frac{d{x}_2(0)}{dt}=1$${\frac {dx_{1}(0)}{dt}}=0,{\frac {dx_{2}(0)}{dt}}=1$  (8 a, b)

Из (6) получаем:

$\frac{dx(0)}{dt}=C_1$${\frac {dx(0)}{dt}}=C_{1}$  (9)

Граничное условие во второй точке имеет вид:

$x_1(1)+C_1{x}_2(1)=x_1$$x_{1}(1)+C_{1}x_{2}(1)=x_{1}$ 

Из этого уравнения получаем:

$C_1=\frac{[x_1-<!--\; -\; -->x_1(1)]}{x_2(1)}$$C_{1}={\frac {[x_{1}-x_{1}(1)]}{x_{2}(1)}}$ . (10)

Итак, мы получили все начальные данные для задачи Коши. Граничная задача (1), (2) решается следующим образом:

1. Интегрируем уравнение (4) с начальными условиями (6 a), (8 a) от 0 до 1. Получаем $x_1(1)$$x_{1}(1)$ .
2. Интегрируем уравнение (5) с начальными условиями (6 b), (8 b) от 0 до 1. Получаем $x_2(1)$$x_{2}(1)$ .
3. По формуле (10) вычисляем константу $C_1$$C_{1}$ , которая в силу (9) является недостающим начальным значением.
4. По формуле (3) вычисляем решение исходной задачи.

ЛитератураПравить

• Ц. На Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. - М.: Мир, 1982.