Метод функции Грина

Метод функции Грина — метод решения линейного дифференциального уравнения, позволяет посредством нахождения соответствующей оператору этого уравнения функции Грина практически напрямую получить частное решение. Эффективность определяется возможностью записать функцию Грина в явном виде.

Решение через функцию Грина применяется в краевых задачах для уравнений эллиптического типа.

В физике метод находит применение при решении задачи об отклике физической системы на выводящее её из равновесия внешнее воздействие. В соответствии с принципом причинности, состояние системы полностью определяется её предысторией. Таким образом, для поиска состояния системы в данный момент требуется решить эволюционную задачу и возникающие в ней дифференциальные уравнения.

Если отклонение системы от состояния равновесия мало, то малы и нелинейные члены соответствующего разложения, значит реакцию системы можно изучать в рамках линейных уравнений. Поскольку основное состояние большинства рассматриваемых систем не меняется со временем, то возникающие уравнения имеют постоянные коэффициенты.

Уравнение с постоянными коэффициентамиПравить

Одномерное уравнение n-го порядкаПравить

Если для, в общем случае, полиномиального дифференциального оператора:

$L=a_n\frac{d^n}{d{t}^n}+a_{n-<!--\; -\; -->1}\frac{d^{n-<!--\; -\; -->1}}{d{t}^{n-<!--\; -\; -->1}}+\dots <!--\; \dots \; -->+a_1\frac{d}{dt}+a_0$$L=a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}+a_{0}$ 

задано уравнение:

$Lx(t)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)$$Lx(t)=\phi (t)\qquad$ ,

то функция Грина $G$$G$  оператора $L$$L$  определяется решением:

$LG(t,t^{\prime })=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })$$LG(t,t')=\delta (t-t')$ 

где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  — дельта-функция Дирака. Так как $a_i$$a_{i}$  не зависят от времени, вид уравнения при замене $t\to <!--\; \to \; -->t-<!--\; -\; -->t^{\prime }$$t\rightarrow t-t'$  не меняется (соблюдается однородность по времени), поэтому функция Грина зависит от одного параметра: $G(t,t^{\prime })\equiv <!--\; \equiv \; -->G(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })$$G(t,t')\equiv G(t-t')$ .

Согласно свойствам дельта-функции, верно равенство:

$\int <!--\; \int \; -->LG(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t^{\prime })d{t}^{\prime }=\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t^{\prime })d{t}^{\prime }=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)$$\int LG(t-t')\phi (t')\,dt'=\int \delta (t-t')\phi (t')\,dt'=\phi (t)$ .

Тогда, при рассмотрении $t\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$t\in (-\infty ,\infty )$  в предположении, что начальные условия за бесконечное время забываются, непосредственной подстановкой проверяется, что решением уравнения будет:

$x(t)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}d{t}^{\prime }G(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t^{\prime })$$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }dt'\,G(t-t')\phi (t')$ 

Функция Грина таким образом определяет для момента времени $t$$t$  влияние «ударного» воздействия на систему, прошедшего в момент времени $t^{\prime }$$t'$ .

Однако, функция Грина может быть выбрана неоднозначно, с точностью до решения однородного (с нулевой правой частью) заданного уравнения. Принцип причинности же гласит, что система реагирует на воздействие приложенное в прошлом, но не в будущем. То есть $G(t,t^{\prime })=0$$G(t,t')=0$  при $t<t'$ .

Это ограничение обозначается с помощью функции Хевисайда $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)$$\theta (t)$  и функция Грина ищется в виде:

$G(t)=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)f(t)$$G(t)=\theta (t)f(t)$ ,

где $f(t)$$f(t)$  является решением заданного однородного уравнения и зависит от $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  постоянных.

В случае, когда $L$$L$  не вырожден, $f(t)$$f(t)$  будет иметь вид:

$f(t)=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{b}_i\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->z_{i}t)$$f(t)=\sum _{i}b_{i}\exp(-z_{i}t)$ .

В силу свойств дельта-функции и её производных, а также некоторой симметрии бинома Ньютона:

$\int <!--\; \int \; -->dt(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)f(t){)}^{(n)}=f^{(n-<!--\; -\; -->1)}(0)+\int <!--\; \int \; -->dt\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)f(t)$$\int dt{\Big (}\theta (t)f(t){\Big )}^{(n)}=f^{(n-1)}(0)+\int dt\,\theta (t)f(t)$ 

Это приводит к:

$\int <!--\; \int \; -->dtLG(t)=\int <!--\; \int \; -->dt\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t)\iff <!--\; \iff \; -->\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{k+1}{f}^{(k)}(0)=1$$\int dt\,LG(t)=\int dt\,\delta (t)\;\Leftrightarrow \;\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}f^{(k)}(0)=1$ .

Так как члены, удовлетворяющие заданному однородному уравнению, сокращаются, то:

$\frac{d^{(n-<!--\; -\; -->1)}}{d{t}^{(n-<!--\; -\; -->1)}}f(0)=1/a_n;\frac{d^{(k)}}{d{t}^{(k)}}f(0)=0,k=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->2$${\frac {d^{(n-1)}}{dt^{(n-1)}}}f(0)=1/a_{n};\;{\frac {d^{(k)}}{dt^{(k)}}}f(0)=0,\;k=0,1,\ldots ,n-2$ .

В этом случае уже возможно найти функцию Грина однозначно.

Если полагать, что для времени $t=0$$t=0$ , когда началась эволюция системы, были заданы начальные условия, то уравнение перепишется:

$Lx(t)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)+\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}^{(k)}(0){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{(n-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->k)}(t)$$Lx(t)=\phi (t)+\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)\delta ^{(n-1-k)}(t)$ .

Тогда:

$x(t)=\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}^{(k)}(0)G^{(n-<!--\; -\; -->k-<!--\; -\; -->1)}(t)+{\int <!--\; \int \; -->}_0^{t}d{t}^{\prime }G(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)$$x(t)=\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)G^{(n-k-1)}(t)+\int _{0}^{t}dt'\,G(t-t')\phi (t)$ ,

лишь последнее слагаемое здесь является вынужденным решением, вызываемым внешним воздействием.

Многомерное уравнение 1-го порядкаПравить

Ниже рассматривается линейное уравнение для векторной величины $\mathit{y}$${\boldsymbol {y}}$ , где $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$${\hat {\Gamma }}$  — матрица, определяющая динамику системы:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathit{y}}(t)+\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}\mathit{y}(t)=\mathit{\chi <!--\; \chi \; -->}(t)$${\dot {\boldsymbol {y}}}(t)+{\hat {\Gamma }}{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {\chi }}(t)$ .

К такому виду сводится рассмотренное уравнение $n$$n$ -го порядка для скалярной величины $x$$x$ . Для этого следует положить, что:

${\mathit{y}}_i(t)=x^{(i-<!--\; -\; -->1)}(t)$${\boldsymbol {y}}_{i}(t)=x^{(i-1)}(t)$ 

для начинающейся с единицы нумерации компонент.

Аналогично предыдущему случаю, решение записывается в виде:

$\mathit{y}(t)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{t}d{t}^{\prime }\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })\mathit{\chi <!--\; \chi \; -->}(t^{\prime })$${\boldsymbol {y}}(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,{\hat {G}}(t-t'){\boldsymbol {\chi }}(t')$ .

Функция Грина, удовлетворяющая условию:

$\left(\frac{d}{dt}+\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}\right)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}(t)=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{1}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t)$$\left({\frac {d}{dt}}+{\hat {\Gamma }}\right){\hat {G}}(t)={\hat {1}}\,\delta (t)$ ,

ищется, в свою очередь, в виде:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}(t)=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}t)$${\hat {G}}(t)=\theta (t)\exp(-{\hat {\Gamma }}t)$ .

Экспоненту от матрицы принято рассматривать при переходе к собственному базису оператора $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$${\hat {\Gamma }}$ , где тот либо диагонален, либо содержит клетки Жордана (в случае вырожденных собственных значений).

Преобразование ЛапласаПравить

Преобразование Лапласа эволюционного уравнения позволяет свести процедуру решения к интегрированию в комплексной плоскости.

Преобразование для $LG(t)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t)$$LG(t)=\delta (t)$  для полиномиального оператора $L$$L$  запишется

$\mathcal{L}\left\{LG(t)\right\}=\mathcal{L}\left\{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t)\right\}\iff <!--\; \iff \; -->L(s)\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{G}(s)=1\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{G}(s)=\frac{1}{L(s)}$${\mathcal {L}}\left\{LG(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{\delta (t)\right\}\;\Leftrightarrow \;L(s){\widetilde {G}}(s)=1\;\Rightarrow \;{\widetilde {G}}(s)={\frac {1}{L(s)}}$ 

Где $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{G}(s)=\mathcal{L}\{G(t)\}$${\widetilde {G}}(s)={\mathcal {L}}\{G(t)\}$ , а $L(s)$$L(s)$  — соответствующий оператору $L$$L$  многочлен, содержащий вместо n-й производной n-ю степень s.

Доказательство

Достаточно рассмотреть выражение при n-й производной функции G

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}dt{e}^{-<!--\; -\; -->pt}\frac{d^n}{d{t}^n}G(t)$$\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)$ 

Где $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  — малый параметр, существенный для дельта-функции в правой части рассматриваемого уравнения

После взятия по частям, с учётом того, что внеинтегральные члены на границах равны нулю (на нижней в силу причинности), интеграл запишется

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}dt{e}^{-<!--\; -\; -->pt}\frac{d^n}{d{t}^n}G(t)=0+p{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}dt{e}^{-<!--\; -\; -->pt}\frac{d^{n-<!--\; -\; -->1}}{d{t}^{n-<!--\; -\; -->1}}G(t)$$\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)=0+p\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}G(t)$ 

Повторение процедуры n раз приводит к

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}dt{e}^{-<!--\; -\; -->pt}\frac{d^n}{d{t}^n}G(t)=p^n{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}dt{e}^{-<!--\; -\; -->pt}G(t)=p^n\mathcal{L}\left\{G(t)\right\}$$\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)=p^{n}\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}G(t)=p^{n}{\mathcal {L}}\left\{G(t)\right\}$ 

■

Тогда, по свойству преобразования Лапласа для свёртки:

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}(s)=\mathcal{L}\left\{\int <!--\; \int \; -->dtG(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)\right\}=\frac{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}(s)}{L(s)}$${\tilde {x}}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int dt\,G(t-t')\phi (t)\right\}={\frac {{\tilde {\phi }}(s)}{L(s)}}$ 

Где $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}(s),\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}(s)$${\tilde {x}}(s),\,{\tilde {\phi }}(s)$  — преобразования Лапласа для $x(t),\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)$$x(t),\,\phi (t)$  соответственно.

После обратного преобразования:

$x(t)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}{\int <!--\; \int \; -->}_{c-<!--\; -\; -->i\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{c+i\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}ds{e}^{st}\frac{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}(s)}{L(s)}$$x(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }ds\,e^{st}{\frac {{\tilde {\phi }}(s)}{L(s)}}$ 

Интеграл, в силу возможности сдвигать контур влево, в частности, считается использованием теоремы о вычетах. Таким образом, преобразование Лапласа указывает прямой путь к нахождению вынужденного решения. Описанное справедливо и для многомерного уравнения, с тем замечанием, что придётся использовать матричную функцию.

Неоднородное по времени уравнениеПравить

Если система не находится в равновесии, то её состояние меняется со временем, что выражается во временной зависимости коэффициентов. Это значит, что функция Грина зависит от обоих переменных:

$LG(t,t^{\prime })=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })$$LG(t,t')=\delta (t-t')$ 

и решение для:

$G(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}t)$$G(t-t')=\theta (t-t')\exp(-\gamma t)$ 

перепишется:

$G(t,t^{\prime })=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{t^{\prime }}^{t}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\right]$$G(t,t')=\theta (t-t')\exp \left[-\int _{t'}^{t}d\tau \,\gamma (\tau )\right]$ .

При постоянном $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  уравнение приобретает прежний вид.

В случае векторного уравнения:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathit{y}}+\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}(t)\mathit{y}=\mathit{\chi <!--\; \chi \; -->}(t)$${\dot {\boldsymbol {y}}}+{\hat {\Gamma }}(t){\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {\chi }}(t)$ 

матрицы $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$${\hat {\Gamma }}$  в различные моменты времени, вообще говоря, не коммутируют, поэтому решение запишется с помощью хронологически упорядоченной экспоненты^[en]:

$G(t,t^{\prime })=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })\mathrm{T}\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{t^{\prime }}^{t}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\right]$$G(t,t')=\theta (t-t')\,\mathrm {T} \exp \left[-\int _{t'}^{t}d\tau \,{\hat {\Gamma }}(\tau )\right]$ .

ЛитератураПравить

• Колоколов И.В., Лебедев В. В. Избранные главы математической физики. с. 6-11, 13
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.