Трёхдиагональная матрица

Не следует путать с матрицей Якоби отображения.

Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби называют ленточную матрицу следующего вида:

${\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}},$

где во всех остальных местах, кроме главной диагонали и двух соседних с ней, стоят нули.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математической физики. Краевые условия $x_1$$x_{1}$ и $x_n$$x_{n}$, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так, краевое условие первого рода $F{|}_{x=x_1}=f_1$$F{\bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}$ определит первую строку в виде $c_1=1$$c_{1}=1$, $b_1=0$$b_{1}=0$, а краевое условие второго рода $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}{|}_{x=x_1}=f_1$${\frac {\partial F}{\partial x}}{\Bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}$ будет соответствовать значениям $c_1=-<!--\; -\; -->1$$c_{1}=-1$, $b_1=1$$b_{1}=1$.

ОпределительПравить

Определитель трёхдиагональной матрицы задается следующей рекуррентной формулой. Положим

$f_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{vmatrix}}$ 

для всех n > 1 и f₁ = a₁. Тогда

$f_n=a_n{f}_{n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->c_{n-<!--\; -\; -->1}{b}_{n-<!--\; -\; -->1}{f}_{n-<!--\; -\; -->2},$$f_{n}=a_{n}f_{n-1}-c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2},$ 

где f₀ = 1 и f_-1 = 0.

Метод прогонкиПравить

Основная статья: Метод прогонки

Для решения систем линейных уравнений вида Ax = F, где A — трёхдиагональная матрица, обычно используется метод прогонки.

См. такжеПравить

• Континуанта
• Список матриц

ЛитератураПравить

• В.П. Ильин, Ю.И. Кузнецов Трёхдиагональные матрицы и их приложения. - М., Наука, 1985. - 208 c.