Теория операторов

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение $T$$T$ из векторного пространства $X$$X$ в векторное пространство $Y$$Y$ называется линейным оператором если $T(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}y)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}T(x)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}T(y)$$T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)$ для любых $x$$x$ и $y$$y$ в $X$$X$ и любых скаляров $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$. Часто пишут $Tx$$Tx$ вместо $T(x)$$T(x)$. Линейный оператор из нормированного пространства $X$$X$ в нормированное пространство $Y$$Y$ называется ограниченным если найдется положительное вещественное число $M$$M$ такое что $\Vert <!--\; \Vert \; -->Tx\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->M\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\lVert Tx\rVert \leqslant M\lVert x\rVert$ для всех $x$$x$ в $X$$X$. Наименьшая константа $M$$M$ удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора $T$$T$ и обозначается $\Vert <!--\; \Vert \; -->T\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\lVert T\rVert$. Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства $X$$X$ в нормированное пространство $Y$$Y$ обозначается $L(X,Y)$$L(X,\;Y)$. В случае когда $X=Y$$X=Y$ пишут $L(X)$$L(X)$ вместо $L(X,X)$$L(X,\;X)$. Если $H$$H$ — гильбертово пространство, то обычно пишут $B(H)$$B(H)$ вместо $L(H)$$L(H)$. На $L(X,Y)$$L(X,\;Y)$ можно ввести структуру векторного пространства через $(T+S)x=Tx+Sx$$(T+S)x=Tx+Sx$ и $(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}T)x=T(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(Tx)$$(\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha (Tx)$, где $T,S\in <!--\; \in \; -->L(X,Y)$$T,\;S\in L(X,\;Y)$, $x,y\in <!--\; \in \; -->X$$x,\;y\in X$, а $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ — произвольный скаляр. С введённой операторной нормой $L(X,Y)$$L(X,\;Y)$ превращается в нормированное пространство.

В частности, $\Vert <!--\; \Vert \; -->S+T\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->S\Vert <!--\; \Vert \; -->+\Vert <!--\; \Vert \; -->T\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\lVert S+T\rVert \leqslant \lVert S\rVert +\lVert T\rVert$ и $\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}T\Vert <!--\; \Vert \; -->=\left|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right|\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->T\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\lVert \alpha T\rVert =\left|\alpha \right|\cdot \lVert T\rVert$ для любых $T,S\in <!--\; \in \; -->L(X,Y)$$T,\;S\in L(X,\;Y)$ и произвольного скаляра $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$. Пространство $L(X,Y)$$L(X,\;Y)$ является банаховым тогда и только тогда когда $Y$$Y$ — банахово.

Пусть $X,Y$$X,\;Y$ и $Z$$Z$ — нормированные пространства, $S\in <!--\; \in \; -->L(X,Y)$$S\in L(X,\;Y)$ и $T\in <!--\; \in \; -->L(Y,Z)$$T\in L(Y,\;Z)$. Композиция $S$$S$ и $T$$T$ обозначается $TS$$TS$ и называется произведением операторов $S$$S$ и $T$$T$. При этом $TS\in <!--\; \in \; -->L(X,Z)$$TS\in L(X,\;Z)$ и $\Vert <!--\; \Vert \; -->TS\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->T\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->S\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\lVert TS\rVert \leqslant \lVert T\rVert \cdot \lVert S\rVert$. Если $X$$X$ — банахово пространство, то $L(X)$$L(X)$, оснащённое произведением, является банаховой алгеброй.

В теории операторов можно выделить несколько основных разделов:

1. Спектральная теория изучает спектр оператора.
2. Классы операторов. В частности, компактные операторы, фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
3. Операторы на специальных нормированных пространствах.
   • На гильбертовых пространствах изучают самосопряжённые, нормальные, унитарные, положительные операторы и др.
   • На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные, и псевдоинтегральные операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом и др.
   • На банаховых решётках: положительные операторы, регулярные операторы и др.
4. Совокупности операторов (то есть, подмножества $L(X)$$L(X)$): операторные алгебры, операторные полугруппы и др.
5. Теория инвариантных подпространств.

ЛитератураПравить

• Садовничий В. А. Теория операторов. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.
• Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962. — 896 с.
• Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. — М.: Мир. 1966. — 1064 с.