Дифференциальная форма

Дифференциа́льная фо́рма порядка $k$$k$, или $k$$k$-форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $(0,k)$$(0,k)$ на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство $k$$k$-форм на многообразии $M$$M$ обычно обозначают ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^k(M)$$\Omega ^{k}(M)$.

ОпределенияПравить

ИнвариантноеПравить

В дифференциальной геометрии дифференциальная форма степени $k$$k$ , или просто $k$$k$ -форма, — это гладкое сечение ${\wedge <!--\; \wedge \; -->}^k{T}^{\ast <!--\; \ast \; -->}M$$\wedge ^{k}T^{*}M$ , то есть $k$$k$ -ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

• значение $k$$k$ -формы на наборе из $k$$k$  штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
• значение $k$$k$ -формы в точке $x$$x$  многообразия есть кососимметрический $k$$k$ -линейный функционал на $T_{x}M$$T_{x}M$ .

Через локальные картыПравить

$k$$k$ -формой на ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  будем называть выражение следующего вида

$\omega =\sum _{{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}}f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{{i_{1}}}\wedge dx^{{i_{2}}}\wedge \ldots \wedge dx^{{i_{k}}}$ 

где $f_{i_1{i}_2\dots <!--\; \dots \; -->i_k}$$f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$  — гладкие функции, $d{x}^i$$dx^{i}$  — дифференциал $i$$i$ -ой координаты $x^i$$x^i$  (функция от вектора, возвращающая его координату с номером $i$$i$  ), а $\wedge <!--\; \wedge \; -->$$\wedge$  — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определенияПравить

• Для $k$$k$ -формы $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  её внешний дифференциал (также просто дифференциал) — это $(k+1)$$(k+1)$ -форма, в координатах имеющая вид $d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots ,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$ 

• для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть $0$$0$ -форм, затем дифференциал $1$$1$ -форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по $R$$R$ -линейности и градуированному правилу Лейбница:
  • $dF(v)=v(F)$$dF(v)=v(F)$  — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
  • $d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(u,v)=u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(v))-<!--\; -\; -->v(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(u))-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}([u,v])$$d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])$  — значение дифференциала $1$$1$ -формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на значение формы на коммутаторе.
  • $d({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}^p)=(d{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k)\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}^p+(-<!--\; -\; -->1{)}^k{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k\wedge <!--\; \wedge \; -->(d{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}^p)$$\ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{{k}}\omega ^{k}\wedge (d\vartheta ^{p})$  — где верхние индексы $k$$k$  и $p$$p$  обозначают порядки соответствующих форм.
• Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
• k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой $(k-<!--\; -\; -->1)$$(k-1)$ -формы.
• Факторгруппа $H_{dR}^k={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}}_k/d{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}$$H_{{dR}}^{k}={\bar \Omega }_{{k}}/d\Omega _{{k-1}}$  замкнутых k-форм по точным k-формам называется $k$$k$ -мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
• Внутренней производной формы $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  степени $n$$n$  по векторному полю $\mathbf{v}$$\mathbf{v}$  (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма

  $i_{\mathbf{v}}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(u_1,\dots <!--\; \dots \; -->,u_{n-<!--\; -\; -->1})=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{v},u_1,\dots <!--\; \dots \; -->,u_{n-<!--\; -\; -->1})$$i_{{\mathbf {v}}}\omega (u_{1},\dots ,u_{{n-1}})=\omega ({\mathbf {v}},u_{1},\dots ,u_{{n-1}})$ 

СвойстваПравить

• Для любой формы справедливо $d(d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=0$$d(d\omega )=0$ .

• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  $d({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^p)=(d{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k)\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^p+(-<!--\; -\; -->1{)}^k{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k\wedge <!--\; \wedge \; -->(d{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^p)$$d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})$ 

• Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  $i_X({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^p)=(i_X{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k)\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^p+(-<!--\; -\; -->1{)}^k{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k\wedge <!--\; \wedge \; -->(i_X{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^p)$$i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})$ 

• Формулы Картана. Для произвольной формы $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  и векторных полей $X,Y,Z$$X,Y,Z$  выполняются следующие соотношения

  ${\mathcal{L}}_{X}d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=d{\mathcal{L}}_X\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},$${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,$ 

  ${\mathcal{L}}_X\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=i_{X}d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+d{i}_X\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},$${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,$  (волшебная формула Картана)

  ${\mathcal{L}}_X{\mathcal{L}}_Y\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathcal{L}}_Y{\mathcal{L}}_X\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}={\mathcal{L}}_{[X,Y]}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},$${\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,$ 

  ${\mathcal{L}}_X{i}_Y\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->i_Y{\mathcal{L}}_X\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=i_{[X,Y]}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},$${\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,$ 

  $i_X{i}_Y\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+i_Y{i}_X\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0,$$i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,$ 

где $\mathcal{L}$$\mathcal{L}$  обозначает производную Ли.

ПримерыПравить

• С точки зрения тензорного анализа 1-форма есть не что иное, как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке $p$$p$  многообразия $M$$M$  и отображающий элементы касательного пространства $T_p(M)$$T_{p}(M)$  в множество вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ :

  $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(p):<!--\; :\; -->T_p(M)\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb{R}$ 

• Форма объёма — пример $n$$n$ -формы на $n$$n$ -мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  на $2n$$2n$ -многообразии, такая что ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^n\ne 0$$\omega ^{n}\not =0$ .

ПримененияПравить

Векторный анализПравить

Основная статья: Векторный анализ

Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть $I$$I$  — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а $\ast <!--\; \ast \; -->$$*$  — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:

$\mathrm{rot}v=\ast <!--\; \ast \; -->dI(v)$$\operatorname {rot}\,v=*\,d\,I(v)$ 

$\mathrm{div}v={\ast <!--\; \ast \; -->}^{-<!--\; -\; -->1}d\ast <!--\; \ast \; -->(v)$$\operatorname {div}\,v=*^{{-1}}d\,*(v)$ 

Дифференциальные формы в электродинамикеПравить

Основная статья: Дифференциальные формы в электромагнетизме

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

$\mathbf{\text{F}}=\frac{1}{2}{F}_{ab}\mathrm{d}{x}^a\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{d}{x}^b.$${\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,{{\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{b}.$ 

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид

$\mathbf{\text{J}}=J^a{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{abcd}\mathrm{d}{x}^b\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{d}{x}^c\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{d}{x}^d.$${\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,{{\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\wedge {{\mathrm d}}x^{d}.$ 

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

$\mathrm{d}\mathbf{\text{F}}=\mathbf{\text{0}}$${\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}$ 

$\mathrm{d}\ast <!--\; \ast \; -->\mathbf{\text{F}}=\mathbf{\text{J}}$${\mathrm {d}}\,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}$ 

где $\ast <!--\; \ast \; -->$$*$  — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма $\ast <!--\; \ast \; -->\mathbf{F}$$*{\mathbf {F}}$  также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механикаПравить

Основная статья: Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие $M$$M$  с заданными на нём симплектической формой $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  и функцией $H$$H$ , называемой функцией Гамильтона. $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  задаёт в каждой точке $X\in <!--\; \in \; -->M$$X\in M$  изоморфизм $I$$I$  кокасательного $T_X^{\ast <!--\; \ast \; -->}M$$T_{{X}}^{{*}}M$  и касательного $T_{X}M$$T_{{X}}M$  пространств по правилу

$dH(\mathbf{u})=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(IdH,\mathbf{u}),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathbf{u}\in <!--\; \in \; -->T_{X}M$$dH({\mathbf {u}})=\omega (IdH,{\mathbf {u}}),~~\forall {\mathbf {u}}\in T_{{X}}M$ ,

где $dH$$dH$  — дифференциал функции $H$$H$ . Векторное поле $IdH$$IdH$  на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций $F$$F$  и $G$$G$  на $M$$M$  определяется по правилу

$[F,G]=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(IdF,IdG)$$[F,G]=\omega (IdF,IdG)$ 

Вариации и обобщенияПравить

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от $k$$k$  векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на $M$$M$  со значениями в векторном расслоении $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:<!--\; :\; -->E\to <!--\; \to \; -->M$$\pi \colon E\to M$  определяются как сечения тензорного произведения расслоений

$\left(\stackrel{k}{\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}{T}^{\ast <!--\; \ast \; -->}M\right){\otimes <!--\; \otimes \; -->}_{M}E$$\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{{M}}E$ 

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение $TM$$TM$ .

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1973.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. такжеПравить

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса