Тензор электромагнитного поля

Тензор электромагнитного поля — это антисимметричный дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

ОпределениеПравить

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

${\mathrm{F}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}.$$\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}.$ 

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

${\mathrm{F}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}.$$\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\nabla _{\mu }A_{\nu }-\nabla _{\nu }A_{\mu }.$ 

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

$F=\mathbf{d}A.$$F=\mathbf {d} A.$ 

Отсюда также очевидна его инвариантность.

СвойстваПравить

• $F_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$F_{{\mu \nu }}$  — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
• Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:

$F^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=2(B^2-<!--\; -\; -->E^2)=\text{inv},$$\ F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})={\text{inv}},$ 

$\frac{1}{2}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=-<!--\; -\; -->4\left(\mathbf{E}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{B}\right)=\text{inv}.$${\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)={\text{inv}}.$ 

Выражение для компонентПравить

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

$F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.$ 

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

$F_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=(\mathbf{E},\mathbf{B}).$$F_{\mu \nu }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).$ 

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

$F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}},$ 

что обозначается как

$F^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=(-<!--\; -\; -->\mathbf{E},\mathbf{B}).$$F^{\mu \nu }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).$ 

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

${\begin{aligned}E_{x}&=E_{x}',&E_{y}&={\frac {E_{y}'+{\frac {V}{c}}B_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&E_{z}&={\frac {E_{z}'-{\frac {V}{c}}B_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\\B_{x}&=B_{x}',&B_{y}&={\frac {B_{y}'-{\frac {V}{c}}E_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&B_{z}&={\frac {B_{z}'+{\frac {V}{c}}E_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}.\end{aligned}}$ 

ПрименениеПравить

Непосредственно из определения следует, что

$\mathbf{d}F=0.$$\mathbf {d} F=0.$ 

В компонентах это выражение принимает вид

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}=0,$$\varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }{\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial F_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}+{\frac {\partial F_{\nu \mu }}{\partial x^{\rho }}}=0,$ 

где ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$$\varepsilon _{{\mu \rho \nu \sigma }}$  — символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

$\mathrm{div}<!--\; \; -->\mathbf{B}=0,$$\operatorname {div} \mathbf {B} =0,$ 

$\mathrm{rot}<!--\; \; -->\mathbf{E}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{B}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}.$$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$ 

Вторая пара уравнений Максвелла выражается через тензор электромагнитного поля как

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=-<!--\; -\; -->\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{c}{j}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},$$\nabla _{\nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {4\pi }{c}}j^{\mu },$ 

где $j^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$j^{\mu }$  — вектор 4-тока.

Также можно записать их через звёздочку Ходжа:

$d\ast <!--\; \ast \; -->F=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{c}J.$$d*F={\frac {4\pi }{c}}J.$ 

Сила Лоренца выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд по формуле

${\mathcal{F}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=q{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{u}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}.$${\mathcal {F}}^{\nu }=qF^{\mu \nu }u_{\mu }.$ 

См. такжеПравить

• Электромагнитный тензор энергии-импульса

ЛитератураПравить

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.