Тангенциальнозначная форма

Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

ОпределениеПравить

Тангенциальнозначной формой на многообразии $M$$M$  называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\left({\wedge <!--\; \wedge \; -->}^k{T}^{\ast <!--\; \ast \; -->}M\right){\otimes <!--\; \otimes \; -->}_{M}TM$$\omega \colon M\to \left(\wedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}TM$ 

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}d$$\pi \circ \omega =\imath d$ 

ОперацииПравить

• Внутреннее дифференицрование
• Внешнее дифференцирование

Производная ЛиПравить

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля $T$$T$  по векторному полю $X$$X$  определяется стандартным образом:

$L_{X}T=\frac{d}{dt}{g}^{t}T$$L_{X}T={\frac {d}{dt}}g^{t}T$ 

где $g^t$$g^{t}$  — фазовый поток, соответствующий векторному полю $X$$X$ . Эта операция связана с внутренним умножением ${\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}}_X$$\imath _{X}$  дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

$L_X={\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}}_{X}d+d{\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}}_X$$L_{X}=\imath _{X}d+d\imath _{X}$ 

то есть

$L_X=[{\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}}_X,d]$$L_{X}=[\imath _{X},d]$ 

где $[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->]$$[\cdot ,\cdot ]$  — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы $K$$K$  производная Ли определяется по аналогии:

$L_K=[{\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}}_K,d]$$L_{K}=[\imath _{K},d]$ 

Свойства

• $[L_K,d]=0$$[L_{K},d]=0$ 

Скобка Фрёлихера-НейенхёйсаПравить

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса $[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->]$$[\cdot ,\cdot ]$  двух тангенциальнозначных форм $K$$K$  и $F$$F$  определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма $[K,F]$$[K,F]$ , для которой

$[L_K,L_F]=L([K,F])$$[L_{K},L_{F}]=L([K,F])$ 

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Если воспринимать почти комплексную структуру $I$$I$  как касательнозначную 1-форму, её тензор Нейенхёйса (тензор, препятствующий отысканию комплексных локальных карт) выражается через скобку Фрёлихера-Нейенхёйса как $[I,I]$$[I,I]$ . Условие «интегрируемости» некой структуры как зануление некоторой её скобки с самой собой общо: например, условие ассоциативности алгебры $A$$A$  можно определять как зануление скобки Герстенхабера на пространстве кодифференцирований свободной коалгебры, порождённой подлежащим векторным пространством алгебры $A$$A$ , посажённым в градуировку 1 (билинейные умножения $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}:<!--\; :\; -->A\otimes <!--\; \otimes \; -->A\to <!--\; \to \; -->A$$\mu \colon A\otimes A\to A$  суть то же самое, что кодифференцирования градуировки 1).

Скобка Нейенхёйса-РичардсонаПравить

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона (алгебраические скобки) $[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->{]}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->}$$[\cdot ,\cdot ]^{\wedge }$  двух тангенциальнозначных форм $K$$K$  и $F$$F$  определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма $[K,F{]}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->}$$[K,F]^{\wedge }$ , для которой

$[{\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}}_K,{\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}}_F]=\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}([K,F{]}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->})$$[\imath _{K},\imath _{F}]=\imath ([K,F]^{\wedge })$ 

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм $K\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{k+1}(M,TM)$$K\in \Omega ^{k+1}(M,TM)$ , $F\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{f+1}(M,TM)$$F\in \Omega ^{f+1}(M,TM)$ :

$[K,F{]}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->}={\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}}_{k}F-<!--\; -\; -->(-<!--\; -\; -->1{)}^{kf}{\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}}_{F}K$$[K,F]^{\wedge }=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K$ 

Связанные определенияПравить

Форма называется припаивающей, если она лежит в $T^{\ast <!--\; \ast \; -->}M\otimes <!--\; \otimes \; -->TM$$T^{*}M\otimes TM$ .

ЛитератураПравить

• Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.