Правило произведения

Правило произведения, или тождество Лейбница, — характерное свойство дифференциальных операторов.

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(f\times <!--\; \times \; -->g)=(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}f)\times <!--\; \times \; -->g+f\times <!--\; \times \; -->(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}g).$$\delta (f\times g)=(\delta f)\times g+f\times (\delta g).$

Часто тождество Лейбница включается как аксиома при определении дифференцирования.

ПримерыПравить

• Для производной

  $(f\cdot <!--\; \cdot \; -->g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->g+f\cdot <!--\; \cdot \; -->g^{\prime }$$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$ 

• Для дифференциала

  $d(f\cdot <!--\; \cdot \; -->g)=(df)\cdot <!--\; \cdot \; -->g+f\cdot <!--\; \cdot \; -->(dg)$$d(f\cdot g)=(df)\cdot g+f\cdot (dg)$ 

Вариации и обобщенияПравить

Многократная производнаяПравить

Для $n$$n$ -й производной существует обобщённая формула Лейбница:

${\left(f\cdot <!--\; \cdot \; -->g\right)}^{(n)}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^k{f}^{(n-<!--\; -\; -->k)}{g}^{(k)},$$\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{(n-k)}}g^{{(k)}}},$  где $C_n^k$$C_{n}^{k}$  — биномиальные коэффициенты.

Градуированная алгебраПравить

Операция ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l:<!--\; :\; -->{\oplus <!--\; \oplus \; -->}_k{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^k\to <!--\; \to \; -->{\oplus <!--\; \oplus \; -->}_k{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{k+l}$$\delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l}$  на градуированной алгебре $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}={\oplus <!--\; \oplus \; -->}_k{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^k$$\Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k}$  удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых $K\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^k$$K\in \Omega ^{k}$ , $F\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$F\in \Omega$ 

${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(K\wedge <!--\; \wedge \; -->F)={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(K)\wedge <!--\; \wedge \; -->F+(-<!--\; -\; -->1{)}^{kl}K\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(F)$$\delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)$ 

где $\wedge <!--\; \wedge \; -->$$\wedge$  — умножение в $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ . Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.

Ассоциативная алгебраПравить

В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$  Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора $D_A=[A,\cdot <!--\; \cdot \; -->].$$D_{A}=[A,\cdot ].$  По этой причине оператор $D_A$$D_{A}$  называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{D}}_A=[\cdot <!--\; \cdot \; -->,A].$${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$ 

Как следствие, $[A,B_1{B}_2\dots <!--\; \dots \; -->B_n]=[A,B_1]B_2\dots <!--\; \dots \; -->B_n+B_1[A,B_2]\dots <!--\; \dots \; -->B_n+\cdots <!--\; \cdots \; -->+B_1{B}_2\dots <!--\; \dots \; -->[A,B_n].$$[A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+B_{1}[A,B_{2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}].$ 

См такжеПравить

• Правило умножения (комбинаторика)