Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

ФормулировкаПравить

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Уравнение ЛиувилляПравить

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в $6N$$6N$ -мерном фазовом пространстве ($N$$N$  — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами $q_i$$q_{i}$  и сопряжёнными импульсами $p_i$$p_{i}$ , где $i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,d,$$i=1,\dots ,d,$  $d=3N$$d=3N$ . Тогда распределение в фазовом пространстве $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(p_i,q_i)$$\rho (p_{i},q_{i})$  определяет вероятность $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(p,q){\mathrm{d}}^{d}q{\mathrm{d}}^{d}p$$\rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$  того, что система будет находиться в элементе объёма ${\mathrm{d}}^{d}q{\mathrm{d}}^{d}p$$\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$  своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(p_i,q_i;t)$$\rho (p_{i},q_{i};t)$  во времени $t$$t$  согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\underset{i=1}{\overset{d}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i}\frac{\mathrm{d}{q}_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\frac{\mathrm{d}{p}_i}{\mathrm{d}t}\right)=0.$${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0.$ 

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_i\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{\mathrm{d}{q}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i},$${\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},$ 

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{p}}_i\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{\mathrm{d}{p}_i}{\mathrm{d}t}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i}.$${\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}.$ 

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathbf{v})=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{div}<!--\; \; -->\mathbf{v}+\mathbf{v}\mathrm{grad}<!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=0,$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \operatorname {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatorname {grad} \rho =0,$ 

где $\mathbf{v}$$\mathbf{v}$  — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathbf{v})=\underset{i=1}{\overset{d}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_i)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{p}}_i)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\right)$$\nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)$ 

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым, описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{div}<!--\; \; -->\mathbf{v}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\underset{i=1}{\overset{d}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{p}}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\right)=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\underset{i=1}{\overset{d}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}H}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}H}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i}\right)=0,$$\rho \operatorname {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\,\partial q_{i}}}\right)=0,$ 

где $H$$H$  — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности $d\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}/dt$$d\rho /dt$  равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей $(\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{p},\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q})$$({\dot {p}},{\dot {q}})$  в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретацияПравить

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — $p_i$$p_{i}$  — но сжимается по другой координате $q_i$$q_i$  так, что произведение $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{p}_i\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{q}_i$$\Delta p_{i}\,\Delta q_{i}$  остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объём) не изменяется.

Более точно, фазовый объём $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  сохраняется при сдвигах времени. Если

$\underset{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}{d}^{d}q{d}^{d}p=C,$$\int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,$ 

и $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(t)$$\Gamma (t)$  — множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  в момент времени $t$$t$ , тогда

$\underset{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(t)}{\int <!--\; \int \; -->}{d}^{d}q{d}^{d}p=C$$\int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C$ 

для всех времён $t$$t$ . Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Через симплектическую формуПравить

Пусть $(M,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$(M,\omega )$  — симплектическое многообразие и $H:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$H\colon M\to \mathbb {R}$  — гладкая функция. Пусть $V$$V$  есть симплектический градиент $H$$H$ , то есть векторное поле удовлетворяющее соотношению

$dH(X)=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(V,X)$$dH(X)=\omega (V,X)$ 

для любого векторного поля $X$$X$ . Тогда

${\mathcal{L}}_V\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0,$${\mathcal {L}}_{V}\omega =0,$ 

где $\mathcal{L}$$\mathcal{L}$  обозначает производную Ли.

Из этого утверждения следует теорема Лиувилля. Действительно, из выше приведённого тождества следует, что

${\mathcal{L}}_V{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->n}=0,$${\mathcal {L}}_{V}\omega ^{\wedge n}=0,$ 

а если $M$$M$  — $2n$$2n$ -мерно, то ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->n}$$\omega ^{{\wedge n}}$  является формой объёма на $M$$M$ .

Физическая интерпретацияПравить

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

$N=\int <!--\; \int \; -->d^{d}q{d}^{d}p\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(p,q)$$N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)$ 

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$  с координатами $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$  и импульсами $\mathbf{p}$${\mathbf {p}}$ , теорему Лиувилля можно записать в виде

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\mathbf{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathbf{x}}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathbf{p}}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=0,$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,$ 

где $\mathbf{v}=\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{x}}$$\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}$  — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$ .

В классической статистической механике число частиц $N$$N$  велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t=0$$\partial\rho/\partial t = 0$  можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  равна любой функции гамильтониана $H$$H$ , например, в распределении Максвелла-Больцмана $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\sim <!--\; \sim \; -->e^{-<!--\; -\; -->H/kT}$$\rho \sim e^{-H/kT}$ , где $T$$T$  — температура, $k$$k$  — постоянная Больцмана.

См. также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль

Запись через скобку ПуассонаПравить

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах $(q^i,p_j)$$(q^{i},p_{j})$  вид

$\{A,B\}=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}A}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^i}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}B}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}A}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}B}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^i}\right),$$\{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}\right),$ 

уравнение Лиувилля (другое название: уравнение Лиувилля — фон Неймана) для гамильтоновых систем приобретает вид

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->\{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->},H\}.$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\rho ,H\}.$ 

Запись с использованием оператора ЛиувилляПравить

При помощи оператора Лиувилля

$i\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}=\underset{i=1}{\overset{d}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\right]$$i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]$ 

уравнение для гамильтоновых систем приобретает вид

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+i\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=0.$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+i{\hat {L}}\rho =0.$ 

ЗамечанияПравить

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{1}{i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}[H,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}],$${\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],$ 

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики.

• Предположение о несжимаемости фазового потока, то есть выполнение условия

$\underset{i=1}{\overset{d}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i}\frac{\mathrm{d}{q}_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\frac{\mathrm{d}{p}_i}{\mathrm{d}t}\right)=0,$$\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0,$  

является существенным. В общем случае произвольной динамической системы

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_i=Q_i(\mathbf{p},\mathbf{q},t),{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{p}}_i=P_i(\mathbf{p},\mathbf{q},t)$${\dot {q}}_{i}=Q_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t),\quad {\dot {p}}_{i}=P_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$  

уравнение для эволюции во времени плотности $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathbf{p},\mathbf{q},t)$$\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$  распределения частиц в фазовом пространстве получается из уравнения баланса

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}({\mathbf{p}}^{\prime },{\mathbf{q}}^{\prime },t^{\prime })d{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{\prime }=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathbf{p},\mathbf{q},t)d\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->},$$\rho (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',t')\,d\Lambda '=\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\,d\Lambda ,$  

$t^{\prime }=t+dt,p_i^{\prime }=p_i+P_{i}dt,q_i^{\prime }=q_i+Q_{i}dt,d{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{\prime }=d\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}\left[1+dt\underset{i=1}{\overset{d}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{Q}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{P}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\right)\right]$$t'=t+dt,\quad p_{i}'=p_{i}+P_{i}\,dt,\quad q_{i}'=q_{i}+Q_{i}\,dt,\quad d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{i}}}\right)\right]$  

(последнее соотношение — это масштабирование элемента фазового объёма при бесконечно малом перемещении вдоль фазовой траектории). Итоговое уравнение имеет вид

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\underset{i=1}{\overset{d}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{Q}_i)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{P}_i)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\right)=0$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho Q_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho P_{i})}{\partial p_{i}}}\right)=0$ 

(см. также Уравнение Фоккера — Планка) и в случае  $Q_i=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i,P_i=-<!--\; -\; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i$$Q_{i}=\partial H/\partial p_{i},\ P_{i}=-\partial H/\partial q_{i}$  совпадает с уравнением Лиувилля.

См. такжеПравить

• Интеграл Пуанкаре — Картана