Кососимметрическая функция

Кососимметрическая (или знакопеременная) функция — функция от нескольких переменных, не меняющаяся при чётных перестановках аргументов и меняющая знак при нечётных перестановках.

Например, следующие функции являются кососимметрическими, так как они меняют значения на противоположные при замене $x$$x$ на $y$$y$ и наоборот: $y-<!--\; -\; -->x,$$y-x,$ $y^3-<!--\; -\; -->x^3,$$y^{3}-x^{3},$ и т. п. Если $f(x,y)$$f(x,y)$ есть симметрическая функция переменных $x$$x$ и $y$$y$, то

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x,y)=(y-<!--\; -\; -->x)f(x,y)$$\varphi (x,y)=(y-x)f(x,y)$

будет уже кососимметрической функцией.

Общее выражение для кососимметрической функции трёх переменных будет

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x,y,z)=(y-<!--\; -\; -->x)(z-<!--\; -\; -->y)(x-<!--\; -\; -->z)f(x,y,z)$$\phi (x,y,z)=(y-x)(z-y)(x-z)f(x,y,z)$

где $f(x,y,z)$$f(x,y,z)$ представляет симметрическую функцию переменных $x,y,z$$x,y,z$. Кососимметрическая функция используется в алгебре при решении уравнений первой степени со многими неизвестными; определитель матрицы есть кососимметрическая функция её строк.