Звезда Ходжа

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

$\ast <!--\; \ast \; -->:<!--\; :\; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^q(T^{\ast <!--\; \ast \; -->}M)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->q}(T^{\ast <!--\; \ast \; -->}M)$$*\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\to \Lambda ^{{n-q}}(T^{*}M)$

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

ОпределениеПравить

Вспомогательные определенияПравить

Определим форму объёма

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=f(X)d{X}^0\wedge <!--\; \wedge \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->d{X}^{n-<!--\; -\; -->1}$$\Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{{n-1}}$ 

${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_n}=f(X){\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_n}$$\Omega _{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f(X)\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ 

где $f(X):M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f(X):M\to {\mathbb {R}}$  — неотрицательный скаляр на многообразии $M$$M$ , а ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_n}$$\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$  — полностью антисимметричный символ. ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{0\dots <!--\; \dots \; -->n-<!--\; -\; -->1}=+1$$\varepsilon _{{0\ldots n-1}}=+1$ . Даже в отсутствие метрики, если $f(X)>0$$f(X)>0$ , можно определить контравариантные компоненты формы объёма.

$\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}=\frac{1}{f(X)}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{X}^0}\wedge <!--\; \wedge \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{X}^{n-<!--\; -\; -->1}}$${\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X)}}{\frac {\partial }{\partial {X^{0}}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{X^{{n-1}}}}}$ 

${\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}}^{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_n}=f^{-<!--\; -\; -->1}(X){\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_n}$${\check {\Omega }}^{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f^{{-1}}(X)\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ 

здесь антисимметричный символ ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_n}$$\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n}}}$  совпадает ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_n}$$\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ .

В присутствии метрики $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  с поднятыми индексами может отличаться от $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$${\check {\Omega }}$  на знак: $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$$\Omega =\sigma {\check {\Omega }}$ . Здесь и далее $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->det(g_{mk})$$\sigma =\operatorname{sgn} \det(g_{{mk}})$ 

Введём операцию антисимметризации:

$A_{[m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_q]}=\frac{1}{q!}\underset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_q)}{\sum <!--\; \sum \; -->}(-<!--\; -\; -->1{)}^{\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_q)}{A}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_q)}$$A_{{[m_{1}\ldots m_{q}]}}={\frac {1}{q!}}\sum _{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}}(-1)^{{\operatorname{sgn}(m_{1}\ldots m_{q})}}A_{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}}$ . Суммирование ведётся по всем перестановкам $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_q)$$\sigma (m_{1}\ldots m_{q})$  индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности $\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$\operatorname{sgn}(\sigma )$ . Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: $A_{k[lm]}=\frac{1}{2!}(A_{klm}-<!--\; -\; -->A_{kml})$$A_{{k[lm]}}={\frac {1}{2!}}(A_{{klm}}-A_{{kml}})$ ; $A_k^{[l}{B}_p^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^l{B}_p^m-<!--\; -\; -->A_k^m{B}_p^l)$$A_{k}^{{[l}}B_{p}^{{m]}}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})$ .

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

$A^{A\dots <!--\; \dots \; -->\lfloor <!--\; \lfloor \; -->K_1\dots <!--\; \dots \; -->K_k\rfloor <!--\; \rfloor \; -->B\dots <!--\; \dots \; -->}{}_{C\dots <!--\; \dots \; -->\lfloor <!--\; \lfloor \; -->K_1\dots <!--\; \dots \; -->K_k\rfloor <!--\; \rfloor \; -->D\dots <!--\; \dots \; -->}=\frac{1}{k!}{A}^{A\dots <!--\; \dots \; -->K_1\dots <!--\; \dots \; -->K_{k}B\dots <!--\; \dots \; -->}{}_{C\dots <!--\; \dots \; -->K_1\dots <!--\; \dots \; -->K_{k}D\dots <!--\; \dots \; -->}$$A^{{A\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor B\ldots }}{}_{{C\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor D\ldots }}={\frac {1}{k!}}A^{{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }}{}_{{C\ldots K_{1}\ldots K_{k}D\ldots }}$ .

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки $\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\rfloor <!--\; \rfloor \; -->$$\lfloor \;\rfloor$  только по упорядоченным наборам не деля на $k!$$k!$ , это связано с тем, что разные наборы индексов $K_1\dots <!--\; \dots \; -->K_k$$K_{1}\ldots K_{k}$ , отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

$(A,B{)}_{M_{k+1}\dots <!--\; \dots \; -->M_q}^{(k)}{}^{N_{k+1}\dots <!--\; \dots \; -->N_p}=A_{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->K_1\dots <!--\; \dots \; -->K_k\rfloor <!--\; \rfloor \; -->M_{k+1}\dots <!--\; \dots \; -->M_q}{B}^{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->K_1\dots <!--\; \dots \; -->K_k\rfloor <!--\; \rfloor \; -->N_{k+1}\dots <!--\; \dots \; -->N_p}$$(A,B)_{{M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}^{{(k)}}{}^{{N_{{k+1}}\ldots N_{p}}}=A_{{\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}B^{{\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor N_{{k+1}}\ldots N_{p}}}$ 

$(A,B{)}_{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_{q-<!--\; -\; -->k}}^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{(k)}}{}^{N_1\dots <!--\; \dots \; -->N_{p-<!--\; -\; -->k}}=A_{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_{q-<!--\; -\; -->k}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->K_1\dots <!--\; \dots \; -->K_k\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{B}^{N_1\dots <!--\; \dots \; -->N_{p-<!--\; -\; -->k}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->K_1\dots <!--\; \dots \; -->K_k\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}$$(A,B)_{{M_{1}\ldots M_{{q-k}}}}^{{\underline {(k)}}}{}^{{N_{1}\ldots N_{{p-k}}}}=A_{{M_{1}\ldots M_{{q-k}}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}B^{{N_{1}\ldots N_{{p-k}}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}$ 

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды ХоджаПравить

Используя форму объёма $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  и поливектор $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$${\check {\Omega }}$ , можно ввести операцию $\ast <!--\; \ast \; -->$$*$ , превращающую поливектор $B$$B$  степени $p$$p$  в дифференциальную форму $\ast <!--\; \ast \; -->B$$*B$  степени $n-<!--\; -\; -->p$$n-p$ , и обратную операцию ${\ast <!--\; \ast \; -->}^{-<!--\; -\; -->1}$$*^{{-1}}$ , превращающую форму $A$$A$  степени $q$$q$  в поливектор ${\ast <!--\; \ast \; -->}^{-<!--\; -\; -->1}A$$*^{{-1}}A$  степени $n-<!--\; -\; -->q$$n-q$ 

$\ast <!--\; \ast \; -->B=(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},B{)}^{(p)}$$*B=(\Omega ,B)^{{(p)}}$ 

${\ast <!--\; \ast \; -->}^{-<!--\; -\; -->1}A=(A,\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{)}^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{(q)}}$$*^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{\underline {(q)}}}$ 

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

$(\ast <!--\; \ast \; -->B{)}_{m_{q+1}\dots <!--\; \dots \; -->m_n}=\frac{f(X)}{q!}{B}^{m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_q}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_n}$$(*B)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{{m_{1}\ldots m_{q}}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}$ 

Поскольку ${\ast <!--\; \ast \; -->}^{-<!--\; -\; -->1}\ast <!--\; \ast \; -->B=B$$*^{{-1}}*B=B$  и $\ast <!--\; \ast \; -->{\ast <!--\; \ast \; -->}^{-<!--\; -\; -->1}A=A$$**^{{-1}}A=A$ , то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов $\ast <!--\; \ast \; -->$$*$  и ${\ast <!--\; \ast \; -->}^{-<!--\; -\; -->1}$$*^{{-1}}$  введём пару операторов: $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\ast <!--\; \ast \; -->}$${\check {*}}$  и ${\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\ast <!--\; \ast \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}$${\check {*}}^{{-1}}$ , отличающихся от них знаком.

$\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\ast <!--\; \ast \; -->}B=(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},B{)}^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{(p)}}$${\check {*}}B=(\Omega ,B)^{{\underline {(p)}}}$ 

${\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\ast <!--\; \ast \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}A=(A,\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{)}^{(q)}$${\check {*}}^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{(q)}}$ 

Звезда Ходжа в присутствии метрикиПравить

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика $g_{mk}$$g_{{mk}}$ . Обозначим $g=det(g_{mk})$$g=\det(g_{{mk}})$ .

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой $g_{mk}$$g_{{mk}}$  называется форма $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\sqrt{|g|}d{X}^0\wedge <!--\; \wedge \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->d{X}^{n-<!--\; -\; -->1}=\sqrt{|g|}d{X}^n$$\Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}$  В компонентах:

${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_n}=\sqrt{|g|}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_n}$$\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}$ 

${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_n}=\frac{\sqrt{|g|}}{g}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_n}=\frac{\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(g)}{\sqrt{|g|}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_n}$$\Omega ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\frac {{\sqrt {|g|}}}{g}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\frac {\operatorname{sgn}(g)}{{\sqrt {|g|}}}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}$ 

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

$A_{m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_n}=A^{l_1\dots <!--\; \dots \; -->l_n}{g}_{m_1{l}_1}\cdots <!--\; \cdots \; -->g_{m_n{l}_n}$$A_{{m_{1}\ldots m_{n}}}=A^{{l_{1}\ldots l_{n}}}g_{{m_{1}l_{1}}}\cdots g_{{m_{n}l_{n}}}$ 

Поэтому мы можем установить взаимно однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. $(\ast <!--\; \ast \; -->A{)}_{m_{q+1}\dots <!--\; \dots \; -->m_n}=\frac{1}{q!}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_n}{A}_{l_1\dots <!--\; \dots \; -->l_q}{g}^{m_1{l}_1}\cdots <!--\; \cdots \; -->g^{m_q{l}_q}$$(*A)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n}}}A_{{l_{1}\ldots l_{q}}}g^{{m_{1}l_{1}}}\cdots g^{{m_{q}l_{q}}}$ 

Дополнительные операторыПравить

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}={\ast <!--\; \ast \; -->}^{-<!--\; -\; -->1}d\ast <!--\; \ast \; -->$$\delta =*^{{-1}}d*$ 

$(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}A{)}^{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_{q-<!--\; -\; -->1}}=\frac{1}{f(X)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{M_q}(f(X)A^{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_q})$$(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1}}}}={\frac {1}{f(X)}}\partial _{{M_{q}}}(f(X)A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})$ 

В присутствие метрики оператор дивергенции $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  выражается через оператор ковариантной производной $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$ , определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

$(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}A{)}^{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_{q-<!--\; -\; -->1}}=(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->},A{)}^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{(1)}{M}_1\dots <!--\; \dots \; -->M_{q-<!--\; -\; -->1}}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{M_q}{A}^{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_q}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{M_q}(\sqrt{|g|}{A}^{M_1\dots <!--\; \dots \; -->M_q})$$(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1}}}}=(\nabla ,A)^{{\underline {(1)}M_{1}\ldots M_{{q-1}}}}=\nabla _{{M_{q}}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}}={\frac {1}{{\sqrt {|g|}}}}\partial _{{M_{q}}}({\sqrt {|g|}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})$ 

Иногда операцию $d$$d$  (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  — дивергенцией. Для 1-формы операция $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  от $q$$q$ -формы $A$$A$  определяется формулой:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}A=(-<!--\; -\; -->1{)}^q(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}d+d\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})A$$\Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A$ 

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа — Бельтрами:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_M{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^M\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_M\sqrt{|g|}{g}^{MN}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_N\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\Delta \varphi =\nabla _{M}\nabla ^{M}\varphi ={\frac {1}{{\sqrt {|g|}}}}\partial _{M}{\sqrt {|g|}}g^{{MN}}\partial _{N}\varphi$ 

Для скаляра $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_M{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^M$$\Delta =\nabla _{M}\nabla ^{M}$ . Если $q>0$$q>0$ , то по формуле Бохнера для произвольной метрики в $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае $q=1$$q=1$ 

$(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}A{)}_K={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_M{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^M{A}_K-<!--\; -\; -->R_K{}^M{A}_M$$(\Delta A)_{K}=\nabla _{M}\nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}$ 

где $R_K{}^M$$R_{K}{}^{M}$  — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

ИсточникиПравить

• Лекции М. Г. Иванова по курсу «Геометрические методы в классической теории поля». http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html